Теорема Атьи – Сигала о пополнении - Atiyah–Segal completion theorem

В Теорема Атьи – Сигала о пополнении это теорема в математика около эквивариантный K-теория в теория гомотопии. Позволять г быть компактный Группа Ли и разреши Икс быть г-CW-комплекс. Затем теорема утверждает, что отображение проекции

${displaystyle pi colon X imes EG o X}$

индуцирует изоморфизм прорывы

${displaystyle pi ^{*}colon K_{G}^{*}(X)_{widehat {I,}} o K^{*}((X imes EG)/G).}$

Здесь индуцированное отображение имеет вид домен то завершение из г-эквивариантная K-теория Икс относительно я, где я обозначает идеальное увеличение из представительное кольцо из г.

В частном случае Икс точку, теорема специализируется на изоморфизме ${displaystyle K^{*}(BG)cong R(G)_{widehat {I,}}}$ между K-теорией классификация пространства из г и пополнение кольца представлений.

Теорема может быть интерпретирована как сравнение геометрического процесса взятия гомотопического фактора г-пространство, сделав действие освободить перед переходом к фактору и алгебраический процесс завершения по идеалу.^[1]

Теорема была впервые доказана для конечные группы от Майкл Атья в 1961 г.,^[2]и доказательство общего случая было опубликовано Атьей вместе с Грэм Сигал в 1969 г.^[3]С тех пор появились различные доказательства, обобщающие теорему до пополнения относительно семейств подгрупп.^[4][5]Соответствующее утверждение для алгебраической K-теории было доказано Александр Меркурьев, справедливое в случае, когда группа алгебраична над комплексными числами.

Смотрите также

• Гипотеза Сигала

использованная литература

1. Гринлис, J.P.C. (1996). «Введение в эквивариантную K-теорию». Серия региональных конференций CBMS. Эквивариантная теория гомотопий и когомологий. 91. Опубликовано для Совета по математическим наукам, Вашингтон, округ Колумбия. С. 143–152.
2. Атья, М.Ф. (1961). «Характеры и когомологии конечных групп». Публикации Mathématiques de l'Ihés. 9 (1): 23–64. Дои:10.1007 / BF02698718. S2CID  54764252.
3. Атья, М.Ф.; Сегал, Г. (1969). «Эквивариантная K-теория и пополнение» (PDF). Журнал дифференциальной геометрии. 3 (1–2): 1–18. Дои:10.4310 / jdg / 1214428815. Получено 2008-06-19.
4. Яковски, С. (1985). «Семейства подгрупп и пополнение». J. Pure Appl. Алгебра. 37 (2): 167–179. Дои:10.1016/0022-4049(85)90094-5.
5. Adams, J.F .; Haeberly, J.P .; Jackowski, S .; Мэй, J.P. (1988). «Обобщение теоремы Атьи-Сигала о пополнении». Топология. 27 (1): 1–6. Дои:10.1016 / 0040-9383 (88) 90002-Х.