Бипродукт - Biproduct - Wikipedia

Эта статья о двойных произведениях в математике. Для побочного продукта процесса см. Побочный продукт.

В теория категорий и его приложения к математика, а побочный продукт конечного набора объекты, в категория с нулевые объекты, является как товар и сопродукт. В предаддитивная категория понятия продукта и копродукции совпадают для конечных наборов объектов.^[1] Бипроизведение является обобщением конечных прямые суммы модулей.

Определение

Позволять C быть категория с нулевые морфизмы. Учитывая конечный (возможно, пустой) набор объектов А₁, ..., А_п в C, их побочный продукт является объект ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ в C вместе с морфизмы

• ${\textstyle p_{k}\!:A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}\to A_{k}}$ в C (в проекция морфизмы)
• ${\textstyle i_{k}\!:A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ (в встраивание морфизмы)

удовлетворение

• ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$, тождественный морфизм ${\displaystyle A_{k},}$ и
• ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$, то нулевой морфизм ${\displaystyle A_{k}\to A_{l},}$ за ${\displaystyle k\neq l,}$

и такой, что

• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$ это товар для ${\textstyle A_{k},}$ и
• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ это сопродукт для ${\textstyle A_{k}.}$

В предаддитивных категориях эти последние два условия следуют из остальной части определения, когда п> 0.^[2] Пустой или нулевой, продукт всегда конечный объект в категории, а пустой копродукт всегда исходный объект в категории. Таким образом, пустой или нулевой побочный продукт всегда является нулевой объект.

Примеры

В категории абелевы группы, бипродукты всегда существуют и задаются прямая сумма.^[3] Нулевой объект - это тривиальная группа.

Точно так же бипродукты существуют в категория векторных пространств через поле. Двойное произведение снова является прямой суммой, а нулевой объект - это тривиальное векторное пространство.

В более общем смысле, побочные продукты существуют в категория модулей через звенеть.

С другой стороны, побочные продукты не существуют в категория групп.^[4] Здесь продукт - это прямой продукт, но побочным продуктом является бесплатный продукт.

Кроме того, в категория наборов. Для продукта задается Декартово произведение, в то время как сопродукт дается несвязный союз. В этой категории нет нулевого объекта.

Блочная матрица алгебра опирается на двойные произведения в категориях матрицы.^[5]

Характеристики

Если побочный продукт ${\textstyle A\oplus B}$ существует для всех пар объектов А и B в категории C, и C имеет нулевой объект, то все конечные бипроизведения существуют, что делает C как Декартова моноидальная категория и ко-декартова моноидальная категория.

Если продукт ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ и побочный продукт ${\textstyle A_{1}\coprod A_{2}}$ оба существуют для некоторой пары объектов А₁, А₂ то есть уникальный морфизм ${\textstyle f:A_{1}\coprod A_{2}\to A_{1}\times A_{2}}$ такой, что

• ${\displaystyle p_{k}\circ f\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}$
• ${\displaystyle p_{l}\circ f\circ i_{k}=0}$ за ${\textstyle k\neq l.}$^{[требуется разъяснение ]}

Следовательно, двойное произведение ${\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}$ существует тогда и только тогда, когда ж является изоморфизм.

Если C это предаддитивная категория, то каждое конечное произведение является бипроизведением, и каждое конечное копроизведение является бипроизведением. Например, если ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ существует, то существуют единственные морфизмы ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ такой, что

• ${\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}$
• ${\displaystyle p_{l}\circ i_{k}=0}$ за ${\textstyle k\neq l.}$

Чтобы увидеть это ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ теперь также является копроизведением и, следовательно, двупродуктом, предположим, что у нас есть морфизмы ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ для какого-то объекта ${\textstyle X}$. Определять ${\textstyle f:=f_{1}\circ p_{1}+f_{2}\circ p_{2}.}$ потом ${\textstyle f}$ это морфизм из ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ к ${\textstyle X}$, и ${\textstyle f\circ i_{k}=f_{k}}$ за ${\textstyle k=1,2}$.

В этом случае у нас всегда есть

• ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{A_{1}\times A_{2}}.}$

An аддитивная категория это предаддитивная категория в котором существуют все конечные бипроизведения. В частности, всегда есть побочные продукты в абелевы категории.

Рекомендации

1. Борсё, 4-5
2. Сондерс Мак Лейн - Категории для рабочего математика, второе издание, стр. 194.
3. Борсё, 8
4. Борсё, 7
5. H.D. Маседо, Дж. Оливейра, Набор текста линейной алгебры: подход, ориентированный на получение двух продуктов, Наука компьютерного программирования, том 78, выпуск 11, 1 ноября 2013 г., страницы 2160-2191, ISSN  0167-6423, Дои:10.1016 / j.scico.2012.07.012.

• Борсё, Фрэнсис (2008). Справочник категориальной алгебры. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-06122-3.