Теорема Дарбу - Darbouxs theorem - Wikipedia

Теорема Дарбу это теорема в математический поле дифференциальная геометрия и, более конкретно дифференциальные формы, частично обобщая Теорема интегрирования Фробениуса. Это фундаментальный результат в нескольких областях, главной из которых является симплектическая геометрия. Теорема названа в честь Жан Гастон Дарбу[1] кто установил это как решение Пфафф проблема.[2]

Одно из многих следствий теоремы состоит в том, что любые два симплектические многообразия того же размера локально симплектоморфный для другого. То есть каждые 2п-мерное симплектическое многообразие можно сделать локально похожим на линейное симплектическое пространство Cп с его канонической симплектической формой. Аналогичное следствие теоремы имеет и применительно к контактная геометрия.

Заявление и первые последствия

Точное заявление выглядит следующим образом.[3] Предположим, что является дифференциальной 1-формой на п размерное многообразие, такое что имеет постоянный классифицировать п. Если

повсюду,

то есть локальная система координат в котором

.

Если же, с другой стороны,

повсюду,

тогда есть локальная система координат ' в котором

.

Обратите внимание, что если везде и тогда это Форма обратной связи.

В частности, предположим, что является симплектической 2-формой на п=2м размерное многообразие M. В окрестностях каждой точки п из M, посредством Лемма Пуанкаре, существует 1-форма с . Более того, удовлетворяет первому набору гипотез теоремы Дарбу, и поэтому локально существует карта координат U возле п в котором

.

Принимая внешняя производная теперь показывает

График U считается Диаграмма Дарбу вокруг п.[4] Коллектор M возможно покрытый по таким графикам.

Чтобы сформулировать это иначе, определите с позволяя . Если диаграмма Дарбу, то это откат стандартной симплектической формы на :

Сравнение с римановой геометрией

Из этого результата следует, что в симплектической геометрии нет локальных инвариантов: a Основа Дарбу всегда можно взять, действует около любой заданной точки. Это резко контрастирует с ситуацией в Риманова геометрия где кривизна является локальным инвариантом, препятствием к метрика будучи локально суммой квадратов дифференциалов координат.

Разница в том, что теорема Дарбу утверждает, что ω можно заставить принять стандартную форму в виде весь район вокруг п. В римановой геометрии всегда можно привести метрику к стандартной форме в в любой заданной точке, но не всегда в окрестностях этой точки.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Дарбу (1882).
  2. ^ Пфафф (1814–1815).
  3. ^ Штернберг (1964) стр. 140–141.
  4. ^ Ср. с Макдаффом и Саламоном (1998) стр. 96.

Рекомендации

  • Дарбу, Гастон (1882). "Sur le problème de Pfaff". Бык. Sci. Математика. 6: 14–36, 49–68.
  • Пфафф, Иоганн Фридрих (1814–1815). "Methodus generalis, aequationes difficarum partialium nec non aequationes Differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque переменных, полные интегранды". Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften в Берлине: 76–136.
  • Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии. Прентис Холл.
  • McDuff, D .; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850451-9.

внешняя ссылка