Дверное пространство - Door space

В математика, в области топология, а топологическое пространство считается дверное пространство если каждое подмножество открыто или закрыто (или и то, и другое).^[1] Термин происходит от вводной мнемоники топологии, гласящей, что «подмножество не похоже на дверь: оно может быть открытым, закрытым, и тем, и другим».

Вот несколько простых фактов о дверных пространствах:

• А Хаусдорф дверное пространство имеет не более одного точка накопления.
• В Хаусдорф дверное пространство, если x не точка накопления тогда {x} открыто.

Чтобы доказать первое утверждение, пусть X - дверное пространство Хаусдорфа и пусть x ≠ y - различные точки. Поскольку X хаусдорфово, существуют открытые окрестности U и V точек x и y соответственно такие, что U ∩ V = ∅. Предположим, y - точка накопления. Тогда U {x} ∪ {y} замкнуто, поскольку если бы оно было открыто, то мы могли бы сказать, что {y} = (U {x} ∪ {y}) ∩ V открыто, что противоречит тому, что y - точка накопления. Таким образом, мы заключаем, что поскольку U {x} ∪ {y} замкнуто, X (U {x} ∪ {y}) открыто и, следовательно, {x} = U ∩ [X (U {x} ∪ {y})] открыто, что означает, что x не является точкой накопления.

Примечания

1. Келли, глава 2, Упражнение C, стр. 76.

Рекомендации

• Келли, Джон Л. (1991). Общая топология. Springer. ISBN  3540901256.