Фредгольмов оператор - Fredholm operator

Основная статья: Теория Фредгольма

В математика, Фредгольмовы операторы уверены операторы которые возникают в Теория Фредгольма из интегральные уравнения. Они названы в честь Эрик Ивар Фредхольм. По определению оператор Фредгольма - это ограниченный линейный оператор Т : Икс → Y между двумя Банаховы пространства с конечномерными ядро ${\displaystyle \ker T}$ и конечномерные (алгебраические) коядро ${\displaystyle \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {ran} \,T}$, а с закрытым классифицировать ${\displaystyle \mathrm {ran} \,T}$. Последнее условие на самом деле избыточно.^[1]

В индекс оператора Фредгольма - это целое число

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {codim} \,\mathrm {ran} \,T}$

или другими словами,

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T:=\dim \ker T-\mathrm {dim} \,\mathrm {coker} \,T.}$

Характеристики

Интуитивно фредгольмовы операторы - это те операторы, которые обратимы, «если не учитывать конечномерные эффекты». Формально правильное утверждение следует. Ограниченный оператор Т : Икс → Y между банаховыми пространствами Икс и Y фредгольмов тогда и только тогда, когда он обратим по модулю компактные операторы, т.е. если существует ограниченный линейный оператор

${\displaystyle S:Y\to X}$

такой, что

${\displaystyle \mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{and}}\quad \mathrm {Id} _{Y}-TS}$

компактные операторы на Икс и Y соответственно.

Если фредгольмов оператор слегка модифицируется, он остается фредгольмовым, а его индекс остается прежним. Формально: множество фредгольмовых операторов из Икс к Y открыто в банаховом пространстве L (Икс, Y) линейных ограниченных операторов, снабженных норма оператора, а индекс локально постоянен. Точнее, если Т₀ Фредхольм из Икс к Y, Существует ε > 0 такое, что каждое Т в L (Икс, Y) с ||Т − Т₀|| < ε фредгольмов, с тем же индексом, что иТ₀.

Когда Т Фредхольм из Икс к Y и U Фредхольм из Y к Z, то композиция ${\displaystyle U\circ T}$ Фредхольм из Икс к Z и

${\displaystyle \mathrm {ind} (U\circ T)=\mathrm {ind} (U)+\mathrm {ind} (T).}$

Когда Т Фредгольм, транспонировать (или сопряженный) оператор Т ′ Фредхольм из Y ′ к Икс ′, и инд (Т ′) = −ind (Т). Когда Икс и Y находятся Гильбертовы пространства, такой же вывод справедлив и для Эрмитово сопряженный  Т^∗.

Когда Т Фредгольм и K компактный оператор, то Т + K Фредгольм. Индекс Т остается неизменным при таком компактном возмущении Т. Это следует из того, что индекс я(s) из Т + s K является целым числом, определенным для каждого s в [0, 1] и я(s) локально постоянна, поэтому я(1) = я(0).

Инвариантность по возмущению верна для более крупных классов, чем класс компактных операторов. Например, когда U Фредгольм и Т а строго сингулярный оператор, тогда Т + U фредгольмов с тем же индексом.^[2] Класс несущественные операторы, который собственно содержит класс строго сингулярных операторов, является «классом возмущения» для фредгольмовых операторов. Это означает, что оператор ${\displaystyle T\in B(X,Y)}$ несущественно тогда и только тогда, когда T + U является фредгольмовым для любого фредгольмова оператора ${\displaystyle U\in B(X,Y)}$.

Примеры

Позволять ${\displaystyle H}$ быть Гильбертово пространство с ортонормированным базисом ${\displaystyle \{e_{n}\}}$ проиндексированы неотрицательными целыми числами. Право) оператор смены S на ЧАС определяется

${\displaystyle S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,}$

Этот оператор S инъективен (фактически, изометричен) и имеет замкнутый образ коразмерности 1, поэтому S Фредгольм с ${\displaystyle \mathrm {ind} (S)=-1}$. Полномочия ${\displaystyle S^{k}}$, ${\displaystyle k\geq 0}$, являются фредгольмовыми с индексом ${\displaystyle -k}$. Смежный S * левый сдвиг,

${\displaystyle S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,}$

Левый сдвиг S * фредгольмов с индексом 1.

Если ЧАС классический Харди космос ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$ на единичном круге Т в комплексной плоскости, то оператор сдвига относительно ортонормированного базиса комплексных экспонент

${\displaystyle e_{n}:\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\in \mathbf {T} \rightarrow \mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},\quad n\geq 0,\,}$

это оператор умножения M_φ с функцией ${\displaystyle \varphi =e_{1}}$. В общем, пусть φ - комплексная непрерывная функция на Т что не исчезает на ${\displaystyle \mathbf {T} }$, и разреши Т_φ обозначить Оператор Теплица с символом φ, равное умножению на φ с последующей ортогональной проекцией ${\displaystyle P:L^{2}(\mathbf {T} )\to H^{2}(\mathbf {T} )}$:

${\displaystyle T_{\varphi }:f\in H^{2}(\mathrm {T} )\rightarrow P(f\varphi )\in H^{2}(\mathrm {T} ).\,}$

потом Т_φ является фредгольмовым оператором на ${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$, с индексом, относящимся к номер намотки около 0 замкнутого пути ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]\mapsto \varphi (e^{it})}$: индекс Т_φ, как определено в этой статье, является противоположностью этому номеру обмотки.

Приложения

Любой эллиптический оператор продолжается до фредгольмова оператора. Использование операторов Фредгольма в уравнения в частных производных это абстрактная форма параметрикс метод.

В Теорема Атьи-Зингера об индексе дает топологическую характеристику индекса некоторых операторов на многообразиях.

В Теорема Атьи-Яниха определяет K-теория K(Икс) компактного топологического пространства Икс с набором гомотопические классы непрерывных карт из Икс в пространство фредгольмовых операторов ЧАС→ЧАС, куда ЧАС является сепарабельным гильбертовым пространством, и множество этих операторов несет операторную норму.

Обобщения

B-фредгольмовы операторы

Для каждого целого числа ${\displaystyle n}$, определять ${\displaystyle T_{n}}$ быть ограничением ${\displaystyle T}$ к ${\displaystyle R(T^{n})}$ рассматривается как карта из ${\displaystyle R(T^{n})}$ в ${\displaystyle R(T^{n})}$ ( особенно ${\displaystyle T_{0}=T}$). Если для некоторого целого ${\displaystyle n}$ космос ${\displaystyle R(T^{n})}$ закрыт и ${\displaystyle T_{n}}$ является фредгольмовым оператором, то ${\displaystyle T}$ называется B-Фредгольмов оператор. Индекс B-фредгольмова оператора ${\displaystyle T}$ определяется как индекс оператора Фредгольма ${\displaystyle T_{n}}$. Показано, что индекс не зависит от целого числа ${\displaystyle n}$.B-фредгольмовы операторы были введены М. Беркани в 1999 г. как обобщение фредгольмовых операторов.^[3]

Полуфредгольмовы операторы

Ограниченный линейный оператор Т называется полуфредгольм если его диапазон закрыт и хотя бы один из ${\displaystyle \ker T}$, ${\displaystyle \mathrm {coker} \,T}$ конечномерна. Для полуфредгольмова оператора индекс определяется формулой

${\displaystyle \mathrm {ind} \,T={\begin{cases}+\infty ,&\dim \ker T=\infty ;\\\dim \ker T-\dim \mathrm {coker} \,T,&\dim \ker T+\dim \mathrm {coker} \,T<\infty ;\\-\infty ,&\dim \mathrm {coker} \,T=\infty .\end{cases}}}$

Неограниченные операторы

Можно также определить неограниченные операторы Фредгольма. Позволять Икс и Y - два банаховых пространства.

1. В замкнутый линейный оператор ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ называется Фредхольм если его домен ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$ плотно в ${\displaystyle X}$, его диапазон замкнут, и как ядро, так и коядро Т конечномерны.
2. ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ называется полуфредгольм если его домен ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(T)}$ плотно в ${\displaystyle X}$, его диапазон замкнут, и либо ядро, либо коядро Т (или оба) конечномерны.

Как было отмечено выше, образ замкнутого оператора замкнут, пока коядро конечномерно (Эдмундс и Эванс, теорема I.3.2).

Примечания

1. Юрий А. Абрамович и Хараламбос Д. Алипрантис, «Приглашение к теории операторов», с.156
2. Т. Като, "Теория возмущений дефекта нули и других величин линейных операторов", J. d'Analyse Math. 6 (1958), 273–322.
3. Беркани Мохаммед: Об одном классе квазифредгольмовых операторов.Интегральные уравнения и теория операторов,34, 2 (1999), 244-249 [1]

Рекомендации

• D.E. Эдмундс и У.Д. Эванс (1987), Спектральная теория и дифференциальные операторы, Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853542-2.
• А.Г. Рамм "Простое доказательство альтернативы Фредгольма и характеризация операторов Фредгольма ", Американский математический ежемесячный журнал, 108 (2001) стр. 855 (NB: в этой статье слово «оператор Фредгольма» относится к «оператору Фредгольма индекса 0»).
• «Фредгольмов оператор». PlanetMath.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фредгольма». MathWorld.
• Б.В. Хведелидзе (2001) [1994], «Теоремы Фредгольма», Энциклопедия математики, EMS Press
• Брюс К. Драйвер "Компактные и фредгольмовые операторы и спектральная теорема ", Инструменты анализа с приложениями, Глава 35, стр. 579–600.
• Роберт С. МакОуэн "Фредгольмова теория дифференциальных уравнений в частных производных на полных римановых многообразиях ", Pacific J. Math. 87, нет. 1 (1980), 169–185.
• Томаш Мровка, Краткое введение в линейный анализ: операторы Фредгольма, Geometry of Manifolds, Fall 2004 (Массачусетский технологический институт: MIT OpenCouseWare)