Групповой функтор - Group functor

В математике групповой функтор является группозначным функтором в категории коммутативных колец. Хотя обычно это рассматривается как обобщение групповая схема, само понятие не содержит теория схем. Из-за этой особенности некоторые авторы, особенно Уотерхаус и Милн (последовавшие за Уотерхаусом),^[1] развивать теорию групповых схем на основе понятия группового функтора вместо теории схем.

А формальная группа обычно определяется как особый вид группового функтора.

Групповой функтор как обобщение групповой схемы

Схема может рассматриваться как контравариантный функтор из категории ${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}$ из S-схемы в категорию множеств, удовлетворяющих аксиома склейки; перспектива, известная как функтор точек. С этой точки зрения групповая схема является контравариантным функтором из ${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}$ в категорию групп, являющуюся пучком Зарисского (т.е. удовлетворяющую аксиоме склейки для топологии Зарисского).

Например, если Γ - конечная группа, то рассмотрим функтор, который посылает Spec (р) к множеству локально постоянных на нем функций.^{[требуется разъяснение ]} Например, групповая схема

${\displaystyle SL_{2}=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}}\right)}$

можно описать как функтор

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},-\right)}$

Если взять кольцо, например, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} \right)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1\right\}\end{aligned}}}$

Групповая связка

Полезно рассмотреть групповой функтор, учитывающий топологию (если таковая имеется) базовой категории; а именно, тот, который является пучком, и групповой функтор, который является пучком, называется групповым пучком. Это понятие появляется, в частности, при обсуждении торсор (где важен выбор топологии).

Например, п-делимая группа является примером группового пучка fppf (группового пучка относительно топологии fppf).^[2]

Смотрите также

• функтор группы автоморфизмов

Примечания

1. http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/
2. http://people.maths.ox.ac.uk/chojecki/gdtScholze1.pdf

Рекомендации

• Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в аффинные групповые схемы, Тексты для выпускников по математике, 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN  978-0-387-90421-4, МИСТЕР  0547117