Многообразие Хакена - Haken manifold

В математика, а Многообразие Хакена это компактный, P²-неприводимый 3-х коллекторный то есть достаточно большой, что означает, что он содержит правильно встроенную двусторонний несжимаемая поверхность. Иногда рассматриваются только ориентируемые многообразия Хакена, и в этом случае многообразие Хакена является компактным ориентируемым неприводимым трехмерным многообразием, содержащим ориентируемую несжимаемую поверхность.

Трехмерное многообразие, конечно покрытое многообразием Хакена, называется фактически Хакен. В Фактически гипотеза Хакена утверждает, что каждое компактное неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Хакеном. Это предположение было доказано Ян Агол.[1]

Многообразия Хакена были введены Вофганг Хакен  (1961 ). Хакен (1962) доказал, что многообразия Хакена имеют иерархия, где они могут быть разбиты на 3 шара по несжимаемым поверхностям. Хакен также показал, что существует конечная процедура нахождения несжимаемой поверхности, если она имеется в трехмерном многообразии. Уильям Жако и Ульрих Эртель (1984 ) дал алгоритм определения того, является ли 3-многообразие Хакеном.

Нормальные поверхности широко используются в теории многообразий Хакена, и их простая и жесткая структура естественным образом приводит к алгоритмам.

Иерархия Хакена

Мы будем рассматривать только случай ориентируемый Многообразия Хакена, так как это упрощает обсуждение; а обычный район ориентируемой поверхности в ориентируемом трехмерном многообразии является просто «утолщенной» версией поверхности, т. е. тривиальным я-пучок. Таким образом, регулярная окрестность - это трехмерное подмногообразие с краем, содержащее две копии поверхности.

Для ориентируемого многообразия Хакена Mпо определению содержит ориентируемую несжимаемую поверхность S. Возьмите обычную окрестность S и удалите его интерьер из M, в результате чего M ' . По сути, мы сократили M по поверхности S. (В одном измерении это аналогично разрезанию поверхности по окружности или дуге.) Теорема гласит, что любое ориентируемое компактное многообразие с граничной компонентой, не являющейся сферой, имеет бесконечную первую группу гомологий, из чего следует, что оно имеет правильно встроенную двустороннюю неразрывную несжимаемую поверхность, и это снова многообразие Хакена. Таким образом, мы можем выбрать другую несжимаемую поверхность в M ' , и обрежьте его. Если в конечном итоге эта последовательность разрезания приводит к многообразию, части (или компоненты) которого представляют собой всего лишь 3-шары, мы называем эту последовательность иерархией.

Приложения

Иерархия делает доказательство некоторых видов теорем о многообразиях Хакена делом индукции. Одно доказывает теорему для 3-шаров. Затем доказывается, что если теорема верна для частей, полученных в результате разрезания многообразия Хакена, то она верна и для этого многообразия Хакена. Ключевым моментом здесь является то, что резка происходит по поверхности, которая была очень «красивой», т.е. несжимаемой. Это делает возможным доказательство шага индукции во многих случаях.

Хакен набросал доказательство алгоритма проверки гомеоморфности двух многообразий Хакена. Его набросок был наполнен существенными усилиями Фридхельм Вальдхаузен, Клаус Йохансон, Джеффри Хемион, Сергей Матвеев и др. Поскольку существует алгоритм проверки того, является ли 3-многообразие Хакеном (см. Жако – Эртель), основная проблема распознавания 3-многообразий может считаться решенной для многообразий Хакена.

Waldhausen  (1968 ) доказал, что замкнутые многообразия Хакена являются топологически жесткий: грубо говоря, любая гомотопическая эквивалентность многообразий Хакена гомотопна гомеоморфизму (в случае границы необходимо условие на периферийную структуру). Таким образом, эти трехмерные многообразия полностью определяются своей фундаментальной группой. Кроме того, Вальдхаузен доказал, что фундаментальные группы многообразий Хакена имеют разрешимую проблему слов; это верно и для виртуальных многообразий Хакена.

Иерархия сыграла решающую роль в Уильям Терстон с теорема гиперболизации для многообразий Хакена, часть его революционной программы геометризации 3-многообразий.

Йохансон (1979) доказал, что аториоидальный, кольцевой гранично неприводимые, трехмерные многообразия Хакена имеют конечные отображение групп классов. Этот результат может быть получен из комбинации Жесткость Мостова с теоремой о геометризации Терстона.

Примеры многообразий Хакена

Обратите внимание, что некоторые семейства примеров содержатся в других.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Агол, Ян (2013). «Виртуальная гипотеза Хакена. С приложением Агола, Дэниела Гроувса и Джейсона Мэннинга» (PDF). Documenta Mathematica. 18: 1045–1087. МИСТЕР  3104553.