Гавайская серьга - Hawaiian earring

Гавайская серьга. Показаны только десять самых больших кругов.

В математика, то Гавайская серьга ${\displaystyle \mathbb {H} }$ это топологическое пространство определяется союз кругов в Евклидова плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с центром ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}},0\right)}$ и радиус ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ за ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ наделенный топология подпространства:

${\displaystyle \mathbb {H} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left(x-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}\right\}}$

Космос ${\displaystyle \mathbb {H} }$ является гомеоморфный к одноточечная компактификация объединения счетного семейства непересекающихся открытые интервалы.

Гавайская серьга - это одномерный, компактный, локально соединенный путём метризуемое пространство. Несмотря на то что ${\displaystyle \mathbb {H} }$ локально гомеоморфен ${\displaystyle \mathbb {R} }$ во всех не исходных точках, ${\displaystyle \mathbb {H} }$ не является полулокально односвязный в ${\displaystyle (0,0)}$. Следовательно, ${\displaystyle \mathbb {H} }$ не имеет односвязного покрывающего пространства и обычно приводится как простейший пример пространства с таким усложнением.

Гавайская серьга очень похожа на сумма клина счетного бесконечного числа кругов; это Роза с бесконечно большим числом лепестков, но эти два пространства не гомеоморфны. Разница между их топологиями видна в том факте, что в гавайской серьге каждая открытая окрестность точки пересечения окружностей содержит все, кроме конечного числа окружностей ( ε-бол вокруг (0, 0) содержит каждый круг, радиус которого меньше, чем ε/2); в розе окрестность точки пересечения может не содержать полностью ни одной из окружностей. Вдобавок роза не компактна: дополнение выделенной точки представляет собой бесконечное объединение открытых интервалов; к ним добавить небольшую открытую окрестность выделенной точки, чтобы получить открытая крышка без конечного дополнительного покрытия.

Фундаментальная группа

Гавайская серьга не является ни односвязной, ни полулокально односвязной, поскольку для всех ${\displaystyle n\geq 1,}$ петля ${\displaystyle \ell _{n}}$ параметризация п-й круг не гомотопен тривиальной петле. Таким образом, ${\displaystyle \mathbb {H} }$ имеет нетривиальный фундаментальная группа   ${\displaystyle G=\pi _{1}(\mathbb {H} ,(0,0)),}$ иногда упоминается как Гавайская серьга группа. Группа гавайских серег ${\displaystyle G}$ бесчисленное множество, и это не свободная группа. Тем не мение, ${\displaystyle G}$ локально свободна в том смысле, что любая конечно порожденная подгруппа группы ${\displaystyle G}$ бесплатно.

Гомотопические классы индивидуальных петель ${\displaystyle \ell _{n}}$ генерировать свободная группа ${\displaystyle \langle [\ell _{n}]\mid n\geq 1\rangle }$ на счетно бесконечном числе образующих, образующем собственную подгруппу ${\displaystyle G}$. Бесчисленное множество других элементов ${\displaystyle G}$ возникают из петель, изображение которых не содержится в конечном числе кругов гавайской серьги; на самом деле некоторые из них сюръективны. Например, путь, который на отрезке ${\displaystyle [2^{-n},2^{-n+1}]}$ обходит п-й круг. В более общем смысле можно образовать бесконечное количество произведений петель ${\displaystyle \ell _{n}}$ индексируется по любому счетному линейному порядку при условии, что для каждого ${\displaystyle n\geq 1}$, петля ${\displaystyle \ell _{n}}$ и его обратная сторона появляется в произведении только конечное число раз.

Это результат Джон Морган и Ян Моррисон, что ${\displaystyle G}$ встраивает в обратный предел ${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$ свободных групп с п генераторы, ${\displaystyle F_{n}}$, где карта связи из ${\displaystyle F_{n}}$ к ${\displaystyle F_{n-1}}$ просто убивает последний генератор ${\displaystyle F_{n}}$. Тем не мение, ${\displaystyle G}$ является собственной подгруппой обратного предела, поскольку каждая петля в ${\displaystyle \mathbb {H} }$ может пересечь каждый круг ${\displaystyle \mathbb {H} }$ только конечное число раз. Пример элемента обратного предела, не соответствующего элементу ${\displaystyle G}$ является бесконечным произведением коммутаторов ${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }[\ell _{1}\ell _{n}\ell _{1}^{-1}\ell _{n}^{-1}]}$, которая формально выглядит как последовательность ${\displaystyle \left(1,[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1},[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1}[\ell _{1}][\ell _{3}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{3}]^{-1},\dots \right)}$ в обратном пределе ${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$.

Первые сингулярные гомологии

Кацуя Эда и Казухиро Кавамура доказали, что абелианизация из ${\displaystyle G,}$ и поэтому первый группа особых гомологий ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$ изоморфна группе

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right)\oplus \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right)}$.

Первое слагаемое ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ это прямой продукт бесконечно много копий бесконечная циклическая группа (в Группа Бэра – Спекера ). Этот множитель представляет особые классы гомологий петель, не имеющих числа витков ${\displaystyle 0}$ вокруг каждого круга ${\displaystyle \mathbb {H} }$ и именно первый Чех Сингулярная группа гомологий ${\displaystyle {\check {H}}_{1}(\mathbb {H} )}$. Кроме того, ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ можно рассматривать как бесконечная абелианизация из ${\displaystyle G}$, поскольку каждый элемент ядра естественного гомоморфизма ${\displaystyle G\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ представляет собой бесконечное произведение коммутаторов. Второе слагаемое ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$ состоит из классов гомологии, представленных петлями, число витков которых вокруг каждого круга ${\displaystyle \mathbb {H} }$ равен нулю, т.е. ядро ​​естественного гомоморфизма ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$. Существование изоморфизма с ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ доказывается абстрактно с помощью теории бесконечных абелевых групп и не имеет геометрической интерпретации.

Высшие измерения

Известно, что ${\displaystyle \mathbb {H} }$ является асферическое пространство, т.е. все высшие гомотопические и гомологические группы ${\displaystyle \mathbb {H} }$ тривиальны.

Гавайские серьги можно обобщить на более высокие размеры. Такое обобщение было использовано Майклом Барраттом и Джон Милнор предоставить примеры компактных, конечномерный пространства с нетривиальными сингулярными группами гомологий большей размерности, чем пространство. В ${\displaystyle k}$-размерная гавайская серьга определяется как

${\displaystyle \mathbb {H} _{k}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}:\left(x_{0}-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}.}$

Следовательно, ${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$ это счетный союз k-сферы, имеющие одну общую точку, и топология дается метрика в котором диаметры сферы сходятся]] к нулю при ${\displaystyle n\to \infty .}$ В качестве альтернативы, ${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$ может быть построен как Александрова компактификация счетного объединения непересекающихся ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$с. Рекурсивно получается, что ${\displaystyle \mathbb {H} _{0}}$ состоит из сходящейся последовательности, ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ это настоящая гавайская серьга, а ${\displaystyle \mathbb {H} _{k+1}}$ гомеоморфен уменьшенная подвеска ${\displaystyle \Sigma \mathbb {H} _{k}}$.

За ${\displaystyle k\geq 1}$, то ${\displaystyle k}$-размерная гавайская серьга - компактная, ${\displaystyle (k-1)}$-связаны и локально ${\displaystyle (k-1)}$-связаны. За ${\displaystyle k\geq 2}$, известно, что ${\displaystyle \pi _{k}(\mathbb {H} _{k})}$ изоморфна группе Бэра-Шпекера ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} .}$

За ${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {(}}k-1)}$ и ${\displaystyle q>1,}$ Баррат и Милнор показали, что группы особых гомологий ${\displaystyle H_{q}(\mathbb {H} _{k};\mathbb {Q} )}$ нетривиальны - на самом деле, бесчисленный.^[1]

Смотрите также

• Список топологий

Рекомендации

1. Барратт, Майкл; Милнор, Джон (1962). «Пример аномальных сингулярных гомологий». Труды Американского математического общества. 13 (2): 293–297. Дои:10.1090 / с0002-9939-1962-0137110-9. МИСТЕР  0137110.

дальнейшее чтение

• Кэннон, Джеймс У.; Коннер, Грегори Р. (2000), «Большая фундаментальная группа, большие гавайские серьги и большие свободные группы», Топология и ее приложения, 106 (3): 273–291, Дои:10.1016 / S0166-8641 (99) 00104-2, МИСТЕР  1775710.
• Коннер, Грегори; Спенсер, К. (2005 г.), «Аномальное поведение группы гавайских сережек», Журнал теории групп, 8 (2): 223–227, Дои:10.1515 / jgth.2005.8.2.223, МИСТЕР  2126731.
• Эда, Кацуя (2002), «Фундаментальные группы одномерных диких пространств и гавайская серьга» (PDF), Труды Американского математического общества, 130 (5): 1515–1522, Дои:10.1090 / S0002-9939-01-06431-0, МИСТЕР  1879978.
• Эда, Кацуя; Кавамура, Казухиро (2000), "Особая гомология гавайской серьги", Журнал Лондонского математического общества, 62 (1): 305–310, Дои:10.1112 / S0024610700001071, МИСТЕР  1772189.
• Фабель, Пол (2005), "Топологическая гавайская группа серег не вкладывается в обратный предел свободных групп", Алгебраическая и геометрическая топология, 5 (4): 1585–1587, arXiv:математика / 0501482, Bibcode:2005математика ...... 1482F, Дои:10.2140 / agt.2005.5.1585, МИСТЕР  2186111.
• Морган, Джон В.; Моррисон, Ян (1986), "Теорема Ван Кампена для слабых объединений", Труды Лондонского математического общества, 53 (3): 562–576, Дои:10.1112 / плмс / с3-53.3.562, МИСТЕР  0868459.