История теории узлов - History of knot theory

Тривиальные узлы, или развязки

Узлы использовались для основных целей, таких как информация о записи, скрепляя и связывая предметы вместе, в течение тысяч лет. Ранний значительный стимул в теория узлов приедет позже с Сэр Уильям Томсон (Лорд Кельвин) и его вихревая теория атома.

История

Pre-modern

Разные узлы лучше подходят для разных задач, например альпинизм или же парусный спорт. Узлы также считались имеющими духовный и религиозный символизм в дополнение к их эстетическим качествам. В бесконечный узел появляется в тибетском буддизме, а Кольца Борромео неоднократно появлялись в разных культурах, часто символизируя единство. В кельтская монахи, создавшие Келлская книга расточал целые страницы замысловатыми Кельтское шитье.

Ранний модерн

С математической точки зрения узлы изучали Карл Фридрих Гаусс, который в 1833 году разработал Интеграл зацепления Гаусса для вычисления номер ссылки двух узлов. Его ученик Иоганн Бенедикт Листинг, после кого Узел листинга назван, способствовал их изучению.

В 1867 г. после наблюдения Шотландский физик Питер Тейт В экспериментах с кольцами дыма Томсон пришел к мысли, что атомы представляют собой узлы кружащихся вихрей в Этер. Таким образом, химические элементы соответствовали бы узлам и звеньям. На эксперименты Тейта вдохновила статья Гельмгольца о вихревых кольцах в несжимаемой жидкости. Томсон и Тейт считали, что понимание и классификация всех возможных узлов объяснит, почему атомы поглощать и испускать свет только на дискретных длины волн что они делают. Например, Томсон думал, что натрий может быть Ссылка Хопфа из-за двух линий спектра.[1]

Впоследствии Тейт начал перечислять уникальные узлы, полагая, что он создает таблицу элементов. Он сформулировал то, что сейчас известно как Домыслы Тэйта на чередующиеся узлы. (Предположения были подтверждены в 1990-х.) Таблицы узлов Тейта были впоследствии улучшены К. Н. Литтл и Томас Киркман.[1]:6

Джеймс Клерк Максвелл, коллега и друг Томсона и Тейта, также проявил большой интерес к узлам. Максвелл изучал работу Листинга над узлами. Он переосмыслил интеграл зацепления Гаусса с точки зрения теории электромагнетизма. В его формулировке интеграл представляет собой работу, совершаемую заряженной частицей, движущейся вдоль одного компонента звена под действием магнитного поля, создаваемого электрическим током вдоль другого компонента. Максвелл также продолжил изучение дымовых колец, рассмотрев три взаимодействующих кольца.

Когда светоносный эфир не было обнаружено в Эксперимент Майкельсона-Морли, теория вихрей полностью устарела, и теория узлов перестала представлять большой научный интерес. Современная физика показывает, что дискретные длины волн зависят от квантовые уровни энергии.

Поздний модерн

Следуя за развитием топология в начале 20-го века во главе с Анри Пуанкаре, топологи, такие как Макс Ден, Дж. В. Александер, и Курт Райдемайстер, исследовал узлы. Из этого возник Рейдемейстер движется и Полином александра.[1]:15–45 Ден также разработал Хирургия Дена, который связал узлы с общей теорией трехмерных многообразий и сформулировал Проблемы Дена в теория групп, такой как проблема со словом. Среди первых пионеров первой половины 20 века Ральф Фокс, который популяризировал тему. В этот ранний период теория узлов в основном заключалась в изучении группа узлов и гомологический инварианты узел дополнения.

Современный

В 1961 г. Вольфганг Хакен открыл алгоритм, который может определить независимо от того, является ли узел нетривиальным. Он также изложил стратегию решения общей проблемы распознавания узлов, то есть определения, эквивалентны ли два заданных узла или нет. В начале 1970-х гг. Фридхельм Вальдхаузен объявил о завершении программы Хакена на основе его результатов и результатов Клаус Йохансон, Уильям Жако, Питер Шален, и Джеффри Хемион. В 2003 году Сергей Матвеев указал и восполнил решающий пробел.

Несколько крупных открытий в конце 20 века значительно обновили теорию узлов и сделали ее более популярной. В конце 1970-х Уильям Терстон с теорема гиперболизации представил теорию гиперболические трехмерные многообразия в теорию узлов и придал ей первостепенное значение. В 1982 году Терстон получил медаль Филдса, высшую награду в области математики, во многом благодаря этому открытию. Работа Терстона также привела, после значительного расширения другими, к эффективному использованию инструментов из теория представлений и алгебраическая геометрия. Были получены важные результаты, в том числе Теорема Гордона – Люке., который показал, что сучки определяются (с точностью до зеркального отражения) своими дополнениями, а величина Гипотеза Смита.

Интерес к теории узлов со стороны общего математического сообщества значительно вырос после Воан Джонс 'открытие Многочлен Джонса в 1984 г. Это привело к появлению других многочленов узлов, таких как скобочный многочлен, Полином ХОМФЛИ, и Многочлен Кауфмана. Джонс был награжден Медаль Филдса в 1990 г. за эту работу.[1]:71–89 В 1988 г. Эдвард Виттен предложили новую основу для полинома Джонса, используя существующие идеи из математическая физика, Такие как Интегралы по траекториям Фейнмана, и вводя новые понятия, такие как топологическая квантовая теория поля (Виттен 1989 ). Виттен также получил медаль Филдса в 1990 году, частично за эту работу. Описание Виттена полинома Джонса подразумевает связанные инварианты для 3-х коллектор. Одновременные, но разные подходы других математиков привели к Инварианты Виттена – Решетихина – Тураева. и различные так называемые "квантовые инварианты ", которые кажутся математически строгой версией инвариантов Виттена (Тураев 1994 ). В 80-е годы Джон Хортон Конвей открыл процедуру развязывания узлов, постепенно известную как Обозначение Конвея.

В 1992 г. Журнал теории узлов и ее разветвлений был основан журнал, посвященный исключительно теории узлов.

В начале 1990-х инварианты узлов, которые охватывают многочлен Джонса и его обобщения, назывались инварианты конечного типа, были обнаружены Васильев и Гусаров. Эти инварианты, первоначально описанные с использованием «классических» топологических средств, были показаны медалистом Филдса в 1994 г. Максим Концевич в результате интеграция, с использованием Концевича интеграл, некоторых алгебраических структур (Концевич 1993 г., Бар-Натан 1995).

За этими открытиями последовало открытие Гомологии Хованова и узел гомологии Флора, которые сильно обобщают многочлены Джонса и Александера. Эти теории гомологии внесли свой вклад в дальнейшее развитие теории узлов.

В последние несколько десятилетий 20-го века ученые и математики начали находить приложения теории узлов к задачам биология и химия. Теорию узлов можно использовать для определения того, является ли молекула хиральный (имеет "ручность") или нет. Химические соединения разной направленности могут иметь совершенно разные свойства, талидомид являясь ярким примером этого. В более общем плане методы теории узлов использовались при изучении топоизомеры, топологически разные расположения одной и той же химической формулы. Тесно родственная теория путаница были эффективно использованы при изучении действия определенных ферментов на ДНК.[2] Междисциплинарная область физическая теория узлов исследует математические модели узлов, основанные на физических соображениях, чтобы понять явления образования узлов, возникающие в таких материалах, как ДНК или полимеры.

В физике было показано, что некоторые гипотетические квазичастицы например, неабелевский анйоны обладают полезными топологическими свойствами, а именно, что их квантовые состояния оставлены без изменений окружающая изотопия от их мировые линии. Есть надежда, что их можно будет использовать для изготовления квантовый компьютер устойчивы к декогеренция. Поскольку мировые линии образуют математическую тесьма, теория кос, связанное поле с теория узлов, используется при изучении свойств такого компьютера, называемого топологический квантовый компьютер.[3]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c d Алексей Сосинский (2002) Узлы, математика с изюминкой, Издательство Гарвардского университета ISBN  0-674-00944-4
  2. ^ Флапан, Эрика (2000), «Когда топология встречается с химией: топологический взгляд на хиральность молекул», Перспективы, Cambridge University Press, Кембридж; Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия, ISBN  0-521-66254-0
  3. ^ Коллинз, Грэм (апрель 2006 г.). «Вычисления с квантовыми узлами». Scientific American. С. 56–63.

Рекомендации

внешняя ссылка

  • Томсон, сэр Уильям (лорд Кельвин), О вихревых атомах, Труды Королевского общества Эдинбурга, Vol. VI, 1867, с. 94–105.
  • Силлиман, Роберт Х., Уильям Томсон: дымовые кольца и атомизм девятнадцатого века, Isis, Vol. 54, No. 4. (декабрь 1963 г.), стр. 461–474. Ссылка JSTOR
  • Фильм современного воссоздания эксперимента Тэйта с кольцами дыма
  • История узлов