Алгоритм Хопкрофта-Карпа - Hopcroft–Karp algorithm

Алгоритм Хопкрофта – Карпа

Класс	Алгоритм графа
Структура данных	График
Худший случай спектакль	${displaystyle O(E{sqrt {V}})}$
Худший случай космическая сложность	${displaystyle O(V)}$

В Информатика, то Алгоритм Хопкрофта – Карпа (иногда точнее называется Алгоритм Хопкрофта – Карпа – Карзанова)^[1] является алгоритм который принимает на входе двудольный граф и производит на выходе максимальное соответствие количества элементов - набор из максимально возможного количества ребер с тем свойством, что никакие два ребра не имеют общей конечной точки. Он работает в ${displaystyle O(|E|{sqrt {|V|}})}$ время в худший случай, где ${displaystyle E}$ - множество ребер в графе, ${displaystyle V}$ - множество вершин графа, и предполагается, что ${displaystyle |E|=Omega (|V|)}$. На случай, если плотные графы срок становится ${displaystyle O(|V|^{2.5})}$, а для редких случайные графы он работает почти за линейное (в | E |) время^{[нужна цитата ]}.

Алгоритм был найден Джон Хопкрофт и Ричард Карп  (1973 ) и независимо Александр Карзанов  (1973 ).^[2] Как и в предыдущих методах сопоставления, таких как Венгерский алгоритм и работа Эдмондс (1965), алгоритм Хопкрофта – Карпа многократно увеличивает размер частичного совпадения, находя расширение путей. Эти пути представляют собой последовательности ребер графа, которые чередуются между ребрами в сопоставлении и ребрами из частичного сопоставления, и где начальное и конечное ребро не входят в частичное сопоставление. Нахождение увеличивающего пути позволяет нам увеличивать размер частичного соответствия, просто переключая края увеличивающего пути (вставляя частичное совпадение с теми, которые не были, и наоборот). Более простые алгоритмы для двудольного сопоставления, такие как Алгоритм Форда – Фулкерсона ‚Найдите один увеличивающий путь на итерацию: алгоритм Хопкрофта-Карпа вместо этого находит максимальный набор кратчайших увеличивающих путей, чтобы гарантировать, что только ${displaystyle O({sqrt {|V|}})}$ необходимы итерации вместо ${displaystyle O(V)}$ итераций. Такое же исполнение ${displaystyle O(|E|{sqrt {|V|}})}$ может быть достигнуто, чтобы найти совпадения максимальной мощности в произвольных графах, с помощью более сложного алгоритма Микали и Вазирани.^[3]

Алгоритм Хопкрофта – Карпа можно рассматривать как частный случай Алгоритм диника для проблема максимального расхода.^[4]

Расширение путей

Вершина, которая не является конечной точкой ребра в некотором частичном совпадении ${displaystyle M}$ называется свободная вершина. Основная концепция, на которой основан алгоритм, - это концепция расширение пути, путь, который начинается в свободной вершине, заканчивается в свободной вершине и чередуется между несовпадающими и согласованными ребрами внутри пути. Из этого определения следует, что, за исключением конечных точек, все другие вершины (если есть) в увеличивающем пути должны быть несвободными вершинами. Расширяющий путь может состоять только из двух вершин (обе свободные) и одного несовпадающего ребра между ними.

Если ${displaystyle M}$ соответствует, и ${displaystyle P}$ является дополнительным путем относительно ${displaystyle M}$, то симметричная разница из двух наборов ребер, ${displaystyle Moplus P}$, будет соответствовать размеру ${displaystyle |M|+1}$. Таким образом, найдя дополнительные пути, алгоритм может увеличить размер сопоставления.

Наоборот, предположим, что соответствие ${displaystyle M}$ не оптимально, и пусть ${displaystyle P}$ быть симметричной разностью ${displaystyle Moplus M^{*}}$ где ${displaystyle M^{*}}$ оптимальное соответствие. Потому что ${displaystyle M}$ и ${displaystyle M^{*}}$ являются паросочетаниями, каждая вершина имеет степень не выше 2 в ${displaystyle P}$. Так ${displaystyle P}$ должны образовывать набор непересекающихся циклов путей с равным количеством совпадающих и несовпадающих ребер в ${displaystyle M}$, дополнительных путей для ${displaystyle M}$, и дополнительных путей для ${displaystyle M^{*}}$; но последнее невозможно, потому что ${displaystyle M^{*}}$ оптимально. Теперь циклы и пути с равным количеством совпавших и несовпадающих вершин не влияют на разницу в размере между ${displaystyle M}$ и ${displaystyle M^{*}}$, так что эта разница равна количеству дополнительных путей для ${displaystyle M}$ в ${displaystyle P}$. Таким образом, всякий раз, когда существует соответствие ${displaystyle M^{*}}$ больше, чем текущее соответствие ${displaystyle M}$, также должен существовать дополнительный путь. Если не удается найти расширяющий путь, алгоритм может безопасно завершиться, поскольку в этом случае ${displaystyle M}$ должен быть оптимальным.

Расширяющий путь в проблеме сопоставления тесно связан с расширение путей возникающий в проблемы с максимальным потоком, пути, по которым можно увеличить количество потока между терминалами потока. Можно преобразовать задачу двустороннего согласования в пример максимального потока, так что чередующиеся пути задачи согласования становятся дополнительными путями проблемы потока. Достаточно вставить две вершины, источник и сток, и вставить ребра единичной мощности от источника в каждую вершину в ${displaystyle U}$, и из каждой вершины в ${displaystyle V}$ к раковине; и пусть края от ${displaystyle U}$ к ${displaystyle V}$ имеют единицу мощности.^[5] Обобщение метода, используемого в алгоритме Хопкрофта – Карпа для поиска максимального потока в произвольных сетях, известно как Алгоритм диника.

Алгоритм

Алгоритм можно выразить в следующем псевдокод.

Ввод: Двудольный граф ${displaystyle G(Ucup V,E)}$

Вывод: Соответствие ${displaystyle Msubseteq E}$

${displaystyle Mleftarrow emptyset }$

повторение

${displaystyle {mathcal {P}}leftarrow {P_{1},P_{2},dots ,P_{k}}}$ максимальное множество непересекающихся по вершинам кратчайших дополняющих путей

${displaystyle Mleftarrow Moplus (P_{1}cup P_{2}cup dots cup P_{k})}$

до тех пор ${displaystyle {mathcal {P}}=emptyset }$

Более подробно пусть ${displaystyle U}$ и ${displaystyle V}$ - два множества в двудольном ${displaystyle G}$, и пусть совпадение из ${displaystyle U}$ к ${displaystyle V}$ в любой момент можно представить как набор ${displaystyle M}$.Алгоритм выполняется поэтапно. Каждый этап состоит из следующих шагов.

• А поиск в ширину разбивает вершины графа на слои. Свободные вершины в ${displaystyle U}$ используются как начальные вершины этого поиска и образуют первый слой разбиения. На первом уровне поиска есть только несовпадающие ребра, так как свободные вершины в ${displaystyle U}$ по определению не примыкают ни к каким согласованным ребрам. На последующих уровнях поиска пройденные края должны чередоваться между совпадающими и несогласованными. То есть при поиске наследников из вершины в ${displaystyle U}$, могут быть пересечены только несовпадающие ребра, а из вершины в ${displaystyle V}$ могут быть пересечены только совпавшие края. Поиск заканчивается на первом слое. ${displaystyle k}$ где одна или несколько свободных вершин в ${displaystyle V}$ достигнуты.
• Все свободные вершины в ${displaystyle V}$ на слое ${displaystyle k}$ собраны в набор ${displaystyle F}$. То есть вершина ${displaystyle v}$ помещается в ${displaystyle F}$ тогда и только тогда, когда он заканчивается кратчайшим путем увеличения.
• Алгоритм находит максимальный набор непересекающаяся вершина увеличение длины пути ${displaystyle k}$. (Максимальный означает, что больше нельзя добавлять такие пути. Это отличается от поиска максимум количество таких путей, которые было бы труднее сделать. К счастью, здесь достаточно найти максимальный набор путей.) Это множество можно вычислить с помощью поиск в глубину (DFS) из ${displaystyle F}$ к свободным вершинам в ${displaystyle U}$, используя слои в ширину для направления поиска: DFS разрешено следовать только за ребрами, ведущими к неиспользуемой вершине на предыдущем уровне, а пути в дереве DFS должны чередоваться между совпадающими и несогласованными ребрами. Как только будет найден дополнительный путь, включающий одну из вершин в ${displaystyle F}$, ДФС продолжается со следующей стартовой вершины. Любая вершина, обнаруженная во время DFS, может быть немедленно помечена как использованная, поскольку, если от нее нет пути к ${displaystyle U}$ в текущей точке DFS, то эту вершину нельзя использовать для достижения ${displaystyle U}$ в любой другой точке DFS. Это гарантирует ${displaystyle O(|E|)}$ время работы DFS. Также можно работать в обратном направлении, от свободных вершин в ${displaystyle U}$ тем в ${displaystyle V}$, который является вариантом, используемым в псевдокоде.
• Каждый из найденных таким образом путей используется для увеличения ${displaystyle M}$.

Алгоритм завершается, когда в части поиска в первую очередь в ширину одной из фаз не обнаруживаются дополнительные пути.

Анализ

Каждая фаза состоит из одного поиска в ширину и одного поиска в глубину. Таким образом, одна фаза может быть реализована в ${displaystyle O(|E|)}$ время. Поэтому первый ${displaystyle {sqrt {|V|}}}$ фаз, на графике с ${displaystyle |V|}$ вершины и ${displaystyle |E|}$ края, займите время ${displaystyle O(|E|{sqrt {|V|}})}$.

Каждая фаза увеличивает длину кратчайшего пути увеличения как минимум на один: фаза находит максимальный набор путей увеличения заданной длины, поэтому любой оставшийся путь увеличения должен быть длиннее. Поэтому, как только начальный ${displaystyle {sqrt {|V|}}}$ этапы алгоритма завершены, кратчайший оставшийся путь дополнения имеет не менее ${displaystyle {sqrt {|V|}}}$ края в нем. Однако симметричная разница возможного оптимального соответствия и частичного соответствия M найденный начальными фазами, образует совокупность непересекающихся по вершинам дополняющих путей и чередующихся циклов. Если каждый из путей в этой коллекции имеет длину не менее ${displaystyle {sqrt {|V|}}}$, может быть не больше ${displaystyle {sqrt {|V|}}}$ путей в коллекции, а размер оптимального соответствия может отличаться от размера ${displaystyle M}$ самое большее ${displaystyle {sqrt {|V|}}}$ края. Поскольку каждая фаза алгоритма увеличивает размер сопоставления по крайней мере на один, может быть не более ${displaystyle {sqrt {|V|}}}$ дополнительные фазы перед завершением алгоритма.

Поскольку алгоритм выполняет в общей сложности не более ${displaystyle 2{sqrt {|V|}}}$ фаз, это занимает общее время ${displaystyle O(|E|{sqrt {|V|}})}$ в худшем случае.

Однако во многих случаях время, затрачиваемое алгоритмом, может быть даже быстрее, чем показывает анализ наихудшего случая. Например, в средний случай для редкий двудольный случайные графы, Bast et al. (2006) (улучшение предыдущего результата Мотвани 1994 ) показал, что с большой вероятностью все неоптимальные сопоставления имеют увеличивающие пути логарифмический длина. Как следствие, для этих графов алгоритм Хопкрофта – Карпа принимает ${displaystyle O(log |V|)}$ фазы и ${displaystyle O(|E|log |V|)}$ общее время.

Сравнение с другими алгоритмами двудольного сопоставления

Для разреженные графики, алгоритм Хопкрофта – Карпа по-прежнему имеет наилучшую известную производительность в худшем случае, но для плотных графов (${displaystyle |E|=Omega (|V|^{2})}$) более свежий алгоритм Alt et al. (1991) обеспечивает немного лучшие временные рамки, ${displaystyle Oleft(|V|^{1.5}{sqrt {frac {|E|}{log |V|}}}ight)}$. Их алгоритм основан на использовании push-relabel алгоритм максимального потока а затем, когда соответствие, созданное этим алгоритмом, становится близким к оптимальному, переходят к методу Хопкрофта – Карпа.

Несколько авторов выполнили экспериментальные сравнения алгоритмов двустороннего сопоставления. Их результаты в целом показывают, что метод Хопкрофта – Карпа на практике не так хорош, как в теории: он уступает как более простым стратегиям поиска в ширину и в глубину для поиска дополнительных путей, так и методам push-relabel. .^[6]

Недвудольные графы

Та же самая идея поиска максимального набора кратчайших дополняющих путей работает также для поиска совпадений максимальной мощности в недвудольных графах, и по тем же причинам алгоритмы, основанные на этой идее, принимают ${displaystyle O({sqrt {|V|}})}$ фазы. Однако для недвудольных графов задача поиска увеличивающих путей внутри каждой фазы является более сложной. Основываясь на работе нескольких более медленных предшественников, Микали и Вазирани (1980) показал, как реализовать фазу за линейное время, что привело к алгоритму недвудольного сопоставления с той же временной границей, что и алгоритм Хопкрофта – Карпа для двудольных графов. Методика Микали – Вазирани сложна, и ее авторы не предоставили полных доказательств своих результатов; впоследствии "ясное изложение" было опубликовано Петерсон и Луи (1988) Ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFPetersonLoui1988 (Помогите) и альтернативные методы описаны другими авторами.^[7] В 2012 году Вазирани предложил новое упрощенное доказательство алгоритма Микали-Вазирани.^[8]

Псевдокод

/ * G = U ∪ V ∪ {NIL}, где U и V - левая и правая части двудольного графа, а NIL - специальная нулевая вершина * / функция BFS () является    для каждого ты в U делать        если Pair_U [u] = NIL тогда            Dist [u]: = 0 Enqueue (Q, u) еще            Dist [u]: = ∞ Dist [NIL]: = ∞ в то время как Пусто (Q) = ложь делать        u: = Удалить из очереди (Q) если Расст. [U] <Расст. [NIL] тогда            для каждого v в Adj [u] делать                если Расстояние [Pair_V [v]] = ∞ тогда                    Dist [Pair_V [v]]: = Dist [u] + 1 Enqueue (Q, Pair_V [v]) вернуть Dist [NIL] ≠ ∞функция ДФС (u) является    если u ≠ ноль тогда        для каждого v в Adj [u] делать            если Расстояние [Pair_V [v]] = Расстояние [u] + 1 тогда                если DFS (Pair_V [v]) = истина тогда                    Pair_V [v]: = u Pair_U [u]: = v вернуть истинное расстояние [u]: = ∞ вернуть ложный вернуть правдафункция Хопкрофт – Карп является    для каждого ты в U делать        Pair_U [u]: = NIL для каждого v в V делать        Pair_V [v]: = NIL соответствие: = 0 в то время как BFS () = истина делать        для каждого ты в U делать            если Pair_U [u] = NIL тогда                если DFS (u) = истина тогда                    соответствие: = соответствие + 1 вернуть соответствие

Выполнение на примере графа, показывающего входной граф и сопоставление после промежуточной итерации 1 и последней итерации 2.

Объяснение

Пусть вершины нашего графа разделены на U и V, и рассмотрим частичное совпадение, как указано в таблицах Pair_U и Pair_V, которые содержат одну вершину, с которой сопоставляется каждая вершина U и V, или NIL для несовпадающих вершин. Ключевая идея состоит в том, чтобы добавить две фиктивные вершины с каждой стороны графа: uDummy, подключенный ко всем несовпадающим вершинам в U, и vDummy, подключенный ко всем несовпадающим вершинам в V. Теперь, если мы запустим поиск в ширину (BFS) от uDummy к vDummy, тогда мы можем получить пути минимальной длины, которые соединяют несогласованные в данный момент вершины в U с несогласованными в настоящее время вершинами в V. Обратите внимание, что, поскольку граф является двудольным, эти пути всегда чередуются между вершинами в U и вершинами в V, и мы требуем в нашей BFS, чтобы при переходе от V к U мы всегда выбирали согласованное ребро. Если мы достигаем несовпадающей вершины V, то мы заканчиваем на vDummy и поиск путей в BFS прекращается. Подводя итог, BFS начинается с несовпадающих вершин в U, переходит ко всем их соседям в V, если все совпадают, то он возвращается к вершинам в U, которым сопоставлены все эти вершины (и которые не были посещены ранее), затем он переходит ко всем соседям этих вершин и т. д., пока одна из вершин, достигнутая в V, не станет несовместимой.

В частности, обратите внимание, что BFS отмечает несогласованные узлы U с расстоянием 0, а затем увеличивает расстояние каждый раз, когда возвращается к U. Это гарантирует, что пути, рассматриваемые в BFS, имеют минимальную длину для соединения несовпадающих вершин U с несовпадающими вершинами V, всегда возвращаясь от V к U на ребрах, которые в настоящее время являются частью соответствия. В частности, специальной вершине NIL, которая соответствует vDummy, затем назначается конечное расстояние, поэтому функция BFS возвращает истину, если был найден какой-то путь. Если путь не найден, значит, дополнительных путей не осталось и соответствие максимальное.

Если BFS возвращает истину, мы можем продолжить и обновить пары для вершин на путях минимальной длины, найденных от U до V: мы делаем это, используя поиск в глубину (DFS). Обратите внимание, что каждая вершина в V на таком пути, кроме последней, в настоящее время сопоставляется. Таким образом, мы можем исследовать с помощью DFS, убедившись, что пути, по которым мы идем, соответствуют расстояниям, вычисленным в BFS. Мы обновляем вдоль каждого такого пути, удаляя из сопоставления все ребра пути, которые в настоящее время находятся в сопоставлении, и добавляя к сопоставлению все кромки пути, которые в настоящее время не находятся в сопоставлении: поскольку это дополняющий путь (первый и последние кромки пути не были частью сопоставления, и путь чередовался между сопоставленными и несовпадающими кромками), тогда это увеличивает количество кромок в сопоставлении. Это то же самое, что заменить текущее совпадение симметричной разницей между текущим совпадением и всем путем.

Обратите внимание, что код гарантирует, что все рассматриваемые нами расширяющие пути не пересекаются с вершинами. Действительно, после выполнения симметричной разницы для пути ни одна из его вершин не может быть снова рассмотрена в DFS только потому, что Dist [Pair_V [v]] не будет равно Dist [u] + 1 (это будет в точности Dist [u]).

Также обратите внимание, что DFS не посещает одну и ту же вершину несколько раз. Это благодаря следующим строкам:

Dist [u] = ∞ return false

Когда нам не удалось найти какой-либо кратчайший увеличивающий путь из вершины u, тогда DFS помечает вершину u, устанавливая Dist [u] равным бесконечности, чтобы эти вершины больше не посещались.

И последнее наблюдение: на самом деле нам не нужен uDummy: его роль просто помещать все несогласованные вершины U в очередь, когда мы запускаем BFS. Что касается vDummy, в псевдокоде выше он обозначен как NIL.

Смотрите также

• Соответствие максимальной мощности, проблема, решаемая алгоритмом, и ее обобщение на недвудольные графы
• Проблема с присвоением, обобщение этой проблемы на взвешенные графики, решено, например посредством Венгерский алгоритм
• Алгоритм Эдмондса – Карпа для поиска максимального потока, обобщение алгоритма Хопкрофта – Карпа

Заметки

1. Габоу (2017); Аннамалай (2018)
2. Диниц (2006).
3. Петерсон, Пол А .; Луи, Майкл К. (1988-11-01). «Общий алгоритм максимального соответствия Микали и Вазирани». Алгоритмика. 3 (1): 511–533. Дои:10.1007 / BF01762129. ISSN  1432-0541. S2CID  16820.
4. Тарджан, Роберт Эндре (1983-01-01). Структуры данных и сетевые алгоритмы. CBMS-NSF Серия региональных конференций по прикладной математике. Общество промышленной и прикладной математики. Дои:10.1137/1.9781611970265. ISBN  978-0-89871-187-5., стр.102
5. Ахуджа, Маньянти и Орлин (1993), раздел 12.3, задача о двудольном согласовании мощности, стр. 469–470.
6. Чанг и Маккормик (1990); Дарби-Доуман (1980); Сетубал (1993); Сетубал (1996).
7. Габоу и Тарджан (1991).
8. Вазирани (2012)

использованная литература

• Ахуджа, Равиндра К.; Маньянти, Томас Л.; Орлин, Джеймс Б. (1993), Сетевые потоки: теория, алгоритмы и приложения, Прентис-Холл.
• Alt, H .; Blum, N .; Мельхорн, К.; Пол, М. (1991), "Вычисление максимального соответствия мощности в двудольном графе во времени ${displaystyle scriptstyle Oleft(n^{1.5}{sqrt {frac {m}{log n}}}ight)}$", Письма об обработке информации, 37 (4): 237–240, Дои:10.1016 / 0020-0190 (91) 90195-Н.
• Аннамалай, Чидамбарам (2018), "Нахождение идеальных пар в двудольных гиперграфах", Комбинаторика, 38 (6): 1285–1307, arXiv:1509.07007, Дои:10.1007 / s00493-017-3567-2, Г-Н  3910876, S2CID  1997334
• Баст, Хольгер; Мельхорн, Курт; Шафер, Гвидо; Тамаки, Хисао (2006), «Алгоритмы сопоставления работают быстро в разреженных случайных графах», Теория вычислительных систем, 39 (1): 3–14, Дои:10.1007 / s00224-005-1254-у, S2CID  9321036.
• Чанг, С. Франк; Маккормик, С. Томас (1990), Более быстрая реализация алгоритма двудольного соответствия мощности, Тех. Rep. 90-MSC-005, факультет торговли и делового администрирования, Univ. Британской Колумбии. Как цитирует Сетубал (1996).
• Дарби-Доуман, Кеннет (1980), Использование разреженности в крупномасштабных задачах линейного программирования - структуры данных и алгоритмы реструктуризации, Кандидат наук. диссертация, Университет Брунеля. Как цитирует Сетубал (1996).
• Диниц, Ефим (2006), «Алгоритм Диница: исходная версия и версия Эвена», в Гольдрайх, Одед; Розенберг, Арнольд Л.; Селман, Алан Л. (ред.), Теоретическая информатика: очерки памяти Шимона Эвена, Конспект лекций по информатике, 3895, Берлин и Гейдельберг: Springer, стр. 218–240, Дои:10.1007/11685654_10.
• Эдмондс, Джек (1965), «Дорожки, деревья и цветы», Канадский математический журнал, 17: 449–467, Дои:10.4153 / CJM-1965-045-4, Г-Н  0177907.
• Габоу, Гарольд Н. (2017), "Подход с взвешенным соответствием к соответствию максимальной мощности", Fundamenta Informaticae, 154 (1–4): 109–130, arXiv:1703.03998, Дои:10.3233 / FI-2017-1555, Г-Н  3690573, S2CID  386509
• Габоу, Гарольд Н .; Тарджан, Роберт Э. (1991), "Более быстрые алгоритмы масштабирования для общих задач сопоставления графов", Журнал ACM, 38 (4): 815–853, Дои:10.1145/115234.115366, S2CID  18350108.
• Хопкрофт, Джон Э.; Карп, Ричард М. (1973), "Ан п^5/2 алгоритм максимальных паросочетаний в двудольных графах », SIAM Журнал по вычислениям, 2 (4): 225–231, Дои:10.1137/0202019. Ранее было объявлено на 12-м ежегодном симпозиуме по теории переключений и автоматов, 1971 г.
• Карзанов, А.В. (1973), «Точная оценка алгоритма поиска максимального потока применительно к задаче о представителях», Проблемы кибернетики, 5: 66–70. Ранее анонсировано на Семинаре по комбинаторной математике (Москва, 1971).
• Микали, С.; Вазирани, В.В. (1980), "An ${displaystyle scriptstyle O({sqrt {|V|}}cdot |E|)}$ алгоритм поиска максимального совпадения в общих графах », Proc. 21-й симпозиум IEEE. Основы компьютерных наук, стр. 17–27, Дои:10.1109 / SFCS.1980.12, S2CID  27467816.
• Петерсон, Пол А .; Луи, Майкл С. (1988), "Общий алгоритм максимального соответствия Микали и Вазирани", Алгоритмика, 3 (1–4): 511–533, CiteSeerX  10.1.1.228.9625, Дои:10.1007 / BF01762129, S2CID  16820.
• Мотвани, Раджив (1994), "Анализ среднего случая алгоритмов сопоставлений и связанных задач", Журнал ACM, 41 (6): 1329–1356, Дои:10.1145/195613.195663, S2CID  2968208.
• Сетубал, Жоао К. (1993), "Новые экспериментальные результаты для двудольного сопоставления", Proc. Netflow93, Кафедра информатики, Univ. Пизы, стр. 211–216. Как цитирует Сетубал (1996).
• Сетубал, Жоао К. (1996), Последовательные и параллельные экспериментальные результаты с алгоритмами двустороннего сопоставления, Тех. Представитель IC-96-09, Inst. вычислительной техники, Univ. Кампинаса, CiteSeerX  10.1.1.48.3539.
• Вазирани, Виджай (2012), Улучшенное определение цветков и более простое доказательство алгоритма сопоставления MV, CoRR абс / 1210.4594, arXiv:1210.4594, Bibcode:2012arXiv1210.4594V.