Группа фонарщиков - Lamplighter group

В математика, то группа фонарщиков L из теория групп ограниченный венок ${displaystyle mathbf {Z} _{2}wr mathbf {Z} }$

Вступление

Название группы происходит от просмотра группы как действующей на вдвойне бесконечной последовательности уличных фонарей. ${displaystyle dots ,l_{-2},l_{-1},l_{0},l_{1},l_{2},l_{3},dots }$ каждый из которых может быть включен или выключен, а фонарщик стоя у какой-то лампы ${displaystyle l_{k}.}$ Эквивалентное описание для этого, называемое базовой группой ${displaystyle B}$ из ${displaystyle L}$ является

${displaystyle B=igoplus _{-infty }^{infty }mathbf {Z} _{2},}$

бесконечный прямая сумма копий циклической группы ${displaystyle mathbf {Z} _{2}}$ куда ${displaystyle 0}$ соответствует выключенному свету и ${displaystyle 1}$ соответствует горящему свету, и прямая сумма используется для гарантии того, что одновременно будет гореть только конечное количество огней. Элемент ${displaystyle mathbf {Z} }$ дает положение фонарщика, а ${displaystyle B}$ чтобы закодировать, какие лампочки горят.

В группе два генератора: генератор т приращения k, чтобы фонарщик перешел к следующей лампе (т ^-1 уменьшает k), а генератор а означает, что состояние лампы л_k изменяется (с выкл. на вкл. или с вкл. на выкл.) Групповое умножение выполняется "следуя" этим операциям.

Мы можем предположить, что в любой момент времени горит только конечное число ламп, поскольку действие любого элемента L меняет самое большее конечное количество ламп. Однако количество горящих ламп не ограничено. Таким образом, групповое действие похоже на действие Машина Тьюринга двумя способами. Машина Тьюринга имеет неограниченную память, но в любой момент времени использовала только конечный объем памяти. Более того, голова машины Тьюринга аналогична фонарщику.

Презентация

Стандарт презентация для группы фонарщиков возникает из структуры венка

${displaystyle langle a,tmid a^{2},[t^{m}at^{-m},t^{n}at^{-n}],m,nin mathbb {Z} angle }$, который можно упростить до

${displaystyle langle a,tmid a^{2},(at^{n}at^{-n})^{2},nin mathbb {Z} angle }$.

Генераторы а и т присущи заметным скорость роста, хотя иногда их заменяют на а и в, изменяя логарифм скорости роста не более чем в 2 раза.

Это представление не является конечным (у него бесконечно много отношений). На самом деле у группы фонарщиков нет конечного представления, то есть это не конечно представленный.

Матричное представление

Разрешение ${displaystyle t}$ чтобы быть формальной переменной, группа фонарщиков ${displaystyle L}$ изоморфна группе матриц

${displaystyle {egin{pmatrix}t^{k}&p�&1end{pmatrix}},}$

куда ${displaystyle kin mathbf {Z} }$ и ${displaystyle p}$ пробегает все многочлены от ${displaystyle mathbf {Z} _{2}[t,t^{-1}].}$^[1]

Используя представленные выше представления, изоморфизм задается формулой

${displaystyle {egin{aligned}t&mapsto {egin{pmatrix}t&0�&1end{pmatrix}}a&mapsto {egin{pmatrix}1&1�&1end{pmatrix}}.end{aligned}}}$

Обобщения

Также можно определить группы фонарщиков ${displaystyle L_{n}=mathbf {Z} _{n}wr mathbf {Z} }$, с ${displaystyle nin mathbb {N} }$, так что "лампы" могут иметь больше, чем просто варианты "выключить" и "включить". Классическая группа фонарщиков восстанавливается при ${displaystyle n=2.}$

Рекомендации

1. Клэй, Мэтт; Маргалит, Дан, ред. (2017-07-11). Часы работы офиса с теоретиком геометрической группы. Принстон, штат Нью-Джерси, Оксфорд: Издательство Принстонского университета. ISBN  9780691158662.

дальнейшее чтение

• Владимир Некрашевич, 2005 г., Самоподобные группы, Математические обзоры и монографии v. 117, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3831-8.