Формула локализации для эквивариантных когомологий - Localization formula for equivariant cohomology

В дифференциальной геометрии формула локализации состояния: для эквивалентно замкнутой эквивариантная дифференциальная форма ${\displaystyle \alpha }$ на орбифолд M с действие тора и для достаточно небольшого ${\displaystyle \xi }$ в алгебре Ли тора Т,

${\displaystyle {1 \over d_{M}}\int _{M}\alpha (\xi )=\sum _{F}{1 \over d_{F}}\int _{F}{\alpha (\xi ) \over e_{T}(F)(\xi )}}$

где сумма пробегает все компоненты связности F множества неподвижных точек ${\displaystyle M^{T}}$, ${\displaystyle d_{M}}$ это орбифолдная множественность из M (который является одним, если M является многообразием) и ${\displaystyle e_{T}(F)}$ эквивариантный Форма Эйлера нормального пучка F.

Формула позволяет вычислить кольцо эквивариантных когомологий орбифолда M (особый вид дифференцируемый стек ) от эквивариантных когомологий его компонент неподвижной точки с точностью до кратностей и форм Эйлера. Аналог таких результатов не имеет места в неэквивариантных когомологиях.

Одним из важных следствий формулы является Теорема Дуистермаата – Хекмана, который гласит: предположим, что на компактном симплектическом многообразии существует действие гамильтоновой окружности (для простоты) M размерности 2п,

${\displaystyle \int _{M}e^{-tH}\omega ^{n}/n!=\sum _{p}{e^{-tH(p)} \over t^{n}\prod \alpha _{j}(p)}.}$

куда ЧАС гамильтониан для действия окружности, сумма берется по точкам, зафиксированным действием окружности, и ${\displaystyle \alpha _{j}(p)}$ собственные значения на касательном пространстве в точке п (ср. Действие группы Ли.)

Формула локализации может также вычислить преобразование Фурье (симплектической формы Костанта на) коприсоединенной орбите, что дает Формула интегрирования Хариш-Чандры, что, в свою очередь, дает Формула характера Кириллова.

Теорема локализации для эквивариантных когомологий в нерациональных коэффициентах обсуждается в Дэниел Квиллен документы.

Неабелева локализация

Теорема локализации утверждает, что эквивариантные когомологии могут быть восстановлены с точностью до элементов кручения из эквивариантных когомологий подмножества неподвижных точек. Дословно это не распространяется на неабелево действие. Но все же существует версия теоремы о локализации для неабелевых действий.

Рекомендации

• Майкл Атья, Рауль Ботт, Отображение момента и эквивариантные когомологии, Топология 23 (1984).
• Лю, Кефэн (2006), «Локализация и предположения из струнной двойственности», в Ge, Mo-Lin; Чжан, Вэйпин (ред.), Дифференциальная геометрия и физика, Нанкайские трактаты по математике, 10, World Scientific, стр. 63–105, ISBN  978-981-270-377-4, МИСТЕР  2322389
• Экхард Майнренкен, Симплектическая хирургия и оператор Дирака Spin-c. Успехи в математике 134 (1998), 240–277
• Дэниел Квиллен, Спектр эквивариантного кольца когомологий, I, II