Модуль (математика) - Module (mathematics) - Wikipedia

В математика, а модуль является одним из основных алгебраические структуры используется в абстрактная алгебра. А модуль над звенеть является обобщением понятия векторное пространство через поле, при этом соответствующие скаляры являются элементами произвольного данного кольца (с единицей), а умножение (слева и / или справа) определено между элементами кольца и элементами модуля. Модуль, извлекающий свои скаляры из кольца р называется р-модуль.

Таким образом, модуль, как и векторное пространство, является аддитивным абелева группа; произведение определяется между элементами кольца и элементами модуля, которое является распределительным по операции сложения каждого параметра и является совместимый с кольцевым умножением.

Модули очень тесно связаны с теория представлений из группы. Они также являются одним из центральных понятий коммутативная алгебра и гомологическая алгебра, и широко используются в алгебраическая геометрия и алгебраическая топология.

Введение и определение

Мотивация

В векторном пространстве набор скаляры это поле и действует на векторы путем скалярного умножения с учетом определенных аксиом, таких как распределительный закон. В модуле скаляры должны быть только звенеть, поэтому концепция модуля представляет собой существенное обобщение. В коммутативной алгебре оба идеалы и кольца частных являются модулями, поэтому многие аргументы об идеалах или факторах кольца могут быть объединены в один аргумент о модулях. В некоммутативной алгебре различие между левыми идеалами, идеалами и модулями становится более явным, хотя некоторые теоретико-кольцевые условия могут быть выражены либо для левых идеалов, либо для левых модулей.

Большая часть теории модулей состоит из расширения как можно большего числа желаемых свойств векторных пространств на область модулей над "хорошо воспитанный "кольцо, например главная идеальная область. Однако модули могут быть немного сложнее векторных пространств; например, не все модули имеют основа, и даже те, кто это делает, бесплатные модули, не обязательно иметь уникальный ранг, если базовое кольцо не удовлетворяет инвариантный базисный номер условие, в отличие от векторных пространств, которые всегда имеют (возможно, бесконечный) базис, мощность которого в этом случае уникальна. (Эти последние два утверждения требуют аксиома выбора в общем, но не в случае конечномерных пространств или некоторых хороших бесконечномерных пространств, таких как L^п пробелы.)

Формальное определение

Предположим, что р это звенеть а 1 - его мультипликативная единица. оставили р-модуль M состоит из абелева группа (M, +) и операция ⋅ : р × M → M такое, что для всех р, s в р и Икс, у в M, у нас есть:

${ Displaystyle г CDOT (х + у) = г CDOT х + г CDOT у}$
${ Displaystyle (г + s) CDOT х = г CDOT х + s CDOT х}$
${ Displaystyle (RS) CDOT х = г CDOT (s CDOT х)}$
${ displaystyle 1 cdot x = x.}$

Работа кольца на M называется скалярное умножение, и обычно пишется путем сопоставления, т. е. как rx за р в р и Икс в M, хотя здесь он обозначен как р ⋅ Икс чтобы отличить его от кольцевой операции умножения, обозначенной здесь сопоставлением. Обозначение _рM указывает левый р-модуль M. А верно р-модуль M или же M_р определяется аналогично, за исключением того, что кольцо действует справа; т.е. скалярное умножение принимает вид ⋅ : M × р → M, и указанные выше аксиомы записываются скалярами р и s справа от Икс и у.

Авторы, не требующие единый опустите условие 4 выше в определении р-module, и поэтому назвал бы структуры, определенные выше, "unital left р-модули ». В этой статье в соответствии с глоссарий теории колец, все кольца и модули считаются унитальными.^[1]

А бимодуль является модулем, который является левым модулем и правым модулем, так что два умножения совместимы.

Если р является коммутативный, затем оставил р-модули такие же, как и справа р-модули и называются просто р-модули.

Примеры

Если K это поле, тогда K-векторные пространства (векторные пространства над K) и K-модули идентичны.
Если K это поле, и K[Икс] одномерный кольцо многочленов, затем K[Икс] -модуль M это K-модуль с дополнительным действием Икс на M что коммутируется с действием K на M. Другими словами, K[Икс] -модуль является K-векторное пространство M в сочетании с линейная карта из M к M. Применяя Структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов на этом примере показывает существование рациональный и Иордания каноническая формы.
Концепция Z-модуль согласуется с понятием абелевой группы. То есть каждый абелева группа является модулем над кольцом целые числа Z уникальным способом. За п > 0, позволять п ⋅ Икс = Икс + Икс + ... + Икс (п слагаемые), 0 ⋅ Икс = 0, и (−п) ⋅ Икс = −(п ⋅ Икс). Такой модуль не обязательно должен иметь основа - группы, содержащие торсионные элементы не. (Например, в группе целых чисел по модулю 3, невозможно найти даже один элемент, который удовлетворяет определению линейно независимого множества, поскольку, когда целое число, такое как 3 или 6, умножает элемент, результат равен 0. Однако, если a конечное поле рассматривается как модуль над тем же конечным полем, взятым за кольцо, это векторное пространство и имеет базис.)
В десятичные дроби (включая отрицательные) образуют модуль над целыми числами. Только синглтоны являются линейно независимыми множествами, но нет синглтона, который мог бы служить основой, поэтому модуль не имеет ни базы, ни ранга.
Если р любое кольцо и п а натуральное число, то декартово произведение р^п одновременно левый и правый р-модуль закончился р если использовать покомпонентные операции. Следовательно, когда п = 1, р является р-модуль, где скалярное умножение - это просто умножение на кольцо. Дело п = 0 дает тривиальный р-модуль {0}, состоящий только из его индивидуального элемента. Модули этого типа называются свободный и если р имеет инвариантный базисный номер (например, любое коммутативное кольцо или поле) число п - тогда ранг свободного модуля.
Если М_п(р) - кольцо п × п матрицы над кольцом р, M является M_п(р) -модуль и е_я это п × п матрица с 1 в (я, я)-ввод (и нули в других местах), затем е_яM является р-модуль, поскольку повторно_ям = е_яrm ∈ е_яM. Так M распадается как прямая сумма р-модули, M = е₁M ⊕ ... ⊕ е_пM. И наоборот, учитывая р-модуль M₀, тогда M₀^⊕п является M_п(р) -модуль. Фактически, категория р-модули и категория из M_п(р) -модули эквивалент. Особый случай состоит в том, что модуль M просто р как модуль над собой, то р^п является M_п(р) -модуль.
Если S это непустой набор, M левый р-модуль и M^S это собрание всех функции ж : S → M, то со сложением и скалярным умножением в M^S поточечно определяется (ж + грамм)(s) = ж(s) + грамм(s) и (рф)(s) = рф(s), M^S левый р-модуль. Право р-модуль аналогичен. В частности, если р коммутативно, то набор Гомоморфизмы R-модулей час : M → N (см. ниже) является р-модуль (а на самом деле подмодуль из N^M).
Если Икс это гладкое многообразие, то гладкие функции из Икс к действительные числа сформировать кольцо C^∞(Икс). Набор всего гладкого векторные поля определено на Икс сформировать модуль над C^∞(Икс), как и тензорные поля и дифференциальные формы на Икс. В общем, разделы любого векторный набор сформировать проективный модуль над C^∞(Икс), и по Теорема Свона, каждый проективный модуль изоморфен модулю сечений некоторого расслоения; то категория из C^∞(Икс) -модули и категория векторных расслоений над Икс находятся эквивалент.
Если р любое кольцо и я есть ли левый идеал в р, тогда я левый р-модуль и аналогично правые идеалы в р правы р-модули.
Если р кольцо, мы можем определить противоположное кольцо р^op который имеет такой же базовый набор и та же операция сложения, но обратное умножение: если ab = c в р, тогда ба = c в р^op. Любой оставили р-модуль M тогда можно рассматривать как верно модуль над р^op, и любой правый модуль над р можно рассматривать как левый модуль над р^op.
Модули над алгеброй Ли являются (ассоциативной алгеброй) модулями над своей универсальная обертывающая алгебра.
Если р и S кольца с кольцевой гомоморфизм φ : р → S, то каждые S-модуль M является р-модуль путем определения rm = φ(р)м. Особенно, S сам по себе такой р-модуль.

Подмодули и гомоморфизмы

Предполагать M левый р-модуль и N это подгруппа из M. потом N это подмодуль (или, точнее, р-submodule), если для любого п в N и любой р в р, продукт р ⋅ п в N (или же п ⋅ р за право р-модуль).

Если Икс есть ли подмножество из р-модуль, то подмодуль, охватываемый Икс определяется как ${ textstyle langle X rangle = , bigcap _ {N supseteq X} N}$ куда N пробегает подмодули M которые содержат Икс, или явно ${ textstyle left { sum _ {i = 1} ^ {k} r_ {i} x_ {i} mid r_ {i} in R, x_ {i} in X right }}$ , что важно при определении тензорных произведений.^[2]

Набор подмодулей данного модуля Mвместе с двумя бинарными операциями + и ∩ образует решетка который удовлетворяет модульный закон: Данные подмодули U, N₁, N₂ из M такой, что N₁ ⊂ N₂, то следующие два подмодуля равны: (N₁ + U) ∩ N₂ = N₁ + (U ∩ N₂).

Если M и N осталось р-модули, затем карта ж : M → N это гомоморфизм р-модули если для любого м, п в M и р, s в р,

{ Displaystyle е (г CDOT м + s CDOT п) = г CDOT F (т) + s CDOT F (п)}

.

Это, как и любой гомоморфизм математических объектов, это просто отображение, которое сохраняет структуру объектов. Другое название гомоморфизма р-modules - это р-линейная карта.

А биективный модульный гомоморфизм ж : M → N называется модулем изоморфизм, а два модуля M и N называются изоморфный. Два изоморфных модуля идентичны для всех практических целей, различаются только обозначениями их элементов.

В ядро гомоморфизма модулей ж : M → N подмодуль M состоящий из всех элементов, которые отправляются в ноль ж, а изображение из ж подмодуль N состоящий из ценностей ж(м) для всех элементов м из M.^[3] В теоремы об изоморфизме знакомые по группам и векторным пространствам также верны для р-модули.

Учитывая кольцо р, множество всего осталось р-модули вместе со своими модульными гомоморфизмами образуют абелева категория, обозначаемый р-Мод (видеть категория модулей ).

Типы модулей

Конечно порожденный: An р-модуль M является конечно порожденный если существует конечное число элементов Икс₁, ..., Икс_п в M так что каждый элемент M это линейная комбинация элементов с коэффициентами из кольца р.
Циклический: Модуль называется циклический модуль если он порождается одним элементом.
Свободный: А свободный р-модуль модуль, имеющий базис, или, что то же самое, модуль, изоморфный прямая сумма копий кольца р. Это модули, которые ведут себя очень похоже на векторные пространства.
Проективный: Проективные модули находятся прямые слагаемые бесплатных модулей и разделяют многие из их желаемых свойств.
Инъекционный: Инъективные модули определены попарно проективным модулям.
Плоский: Модуль называется плоский если взять тензорное произведение из этого с любым точная последовательность из р-модули сохраняет точность.
Без кручения: Модуль называется без кручения если он вкладывается в свой алгебраический двойственный.
Простой: А простой модуль S - это модуль, который не является {0}, и его единственными подмодулями являются {0} и S. Простые модули иногда называют несводимый.^[4]
Полупростой: А полупростой модуль представляет собой прямую сумму (конечную или нет) простых модулей. Исторически эти модули еще называют полностью сводимый.
Неразложимый: An неразложимый модуль - ненулевой модуль, который нельзя записать как прямая сумма двух ненулевых подмодулей. Каждый простой модуль является неразложимым, но есть неразложимые модули, которые не являются простыми (например, унифицированные модули ).
Верный: А верный модуль M это тот, где действие каждого р ≠ 0 в р на M нетривиально (т.е. р ⋅ Икс ≠ 0 для некоторых Икс в M). Эквивалентно аннигилятор из M это нулевой идеал.
Без кручения: А модуль без кручения - модуль над кольцом, такой, что 0 - единственный элемент, аннулируемый регулярным элементом (не делитель нуля ) кольца эквивалентно ${ displaystyle rm = 0}$ подразумевает ${ displaystyle r = 0}$ или же ${ displaystyle m = 0}$ .
Нётерян: А Нётерский модуль - модуль, удовлетворяющий условие возрастающей цепи на подмодулях, то есть каждая возрастающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов. Эквивалентно каждый подмодуль конечно порожден.
Артиниан: An Артинианский модуль - модуль, удовлетворяющий состояние нисходящей цепочки на подмодулях, то есть каждая убывающая цепочка подмодулей становится стационарной после конечного числа шагов.
Оценено: А градуированный модуль является модулем с разложением в прямую сумму M = ⨁_Икс M_Икс через градуированное кольцо р = ⨁_Икс р_Икс такой, что р_ИксM_у ⊂ M_Икс+у для всех Икс и у.
Униформа: А унифицированный модуль - модуль, в котором все пары ненулевых подмодулей имеют ненулевое пересечение.

Дальнейшие понятия

Отношение к теории представлений

Представление группы грамм над полем k является модулем над групповое кольцо k[грамм].

Если M левый р-модуль, затем действие элемента р в р определяется как карта M → M который посылает каждый Икс к rx (или же xr в случае правого модуля) и обязательно является групповой эндоморфизм абелевой группы (M, +). Множество всех групповых эндоморфизмов M обозначается Конец_Z(M) и образует кольцо при сложении и сочинение, и отправив элемент кольца р из р к его действию фактически определяет кольцевой гомоморфизм из р до конца_Z(M).

Такой гомоморфизм колец р → Конец_Z(M) называется представление из р над абелевой группой M; альтернативный и эквивалентный способ определения left р-modules означает, что левый р-модуль - абелева группа M вместе с представлением р над ним. Такое представление $р \to Конец Z (M)$ можно также назвать кольцевое действие из $р$ на $M$ .

Представление называется верный тогда и только тогда, когда карта р → Конец_Z(M) является инъективный. С точки зрения модулей это означает, что если р является элементом р такой, что rx = 0 для всех Икс в M, тогда р = 0. Каждая абелева группа является точным модулем над целые числа или над некоторыми модульная арифметика Z/пZ.

Обобщения

Кольцо р соответствует предаддитивная категория р с одним объект. При таком понимании левый р-модуль - это просто ковариантный аддитивный функтор из р к категория Ab абелевых групп, и правильно р-модули - контравариантные аддитивные функторы. Это говорит о том, что если C - любая предаддитивная категория, ковариантный аддитивный функтор из C к Ab следует рассматривать как обобщенный левый модуль над C. Эти функторы образуют категория функторов C-Мод что является естественным обобщением модульной категории р-Мод.

Модули более коммутативный кольца можно обобщить в другом направлении: возьмем окольцованное пространство (Икс, O_Икс) и рассмотрим снопы из O_Икс-модули (см. связка модулей ). Они образуют категорию O_Икс-Мод, и играют важную роль в современном алгебраическая геометрия. Если Икс имеет только одну точку, то это категория модулей в старом смысле над коммутативным кольцом O_Икс(Икс).

Можно также рассматривать модули над полукольцо. Модули над кольцами - абелевы группы, а модули над полукольцами - только коммутативный моноиды. Большинство приложений модулей все еще возможно. В частности, для любых полукольцо S, матрицы над S образуют полукольцо, над которым наборы элементов из S являются модулем (только в этом обобщенном смысле). Это позволяет сделать дальнейшее обобщение концепции векторное пространство включающие полукольца из теоретической информатики.

Над близкие к кольцу, можно рассматривать модули, близкие к кольцам, - неабелево обобщение модулей.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

Примечания

^ Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра. Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7.
^ Макгерти, Кевин (2016). «АЛГЕБРА II: КОЛЬЦА И МОДУЛИ» (PDF).
^ Эш, Роберт. "Основы модуля" (PDF). Абстрактная алгебра: основной выпускной год.
^ Якобсон (1964), п. 4, Def. 1; Несократимый модуль в PlanetMath.

внешняя ссылка

«Модуль», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Почему изучать модули кольца - это хорошая идея? на MathOverflow
модуль в nLab

[DummitFoote-1] Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра. Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7.

[2] Макгерти, Кевин (2016). «АЛГЕБРА II: КОЛЬЦА И МОДУЛИ» (PDF).

[3] Эш, Роберт. "Основы модуля" (PDF). Абстрактная алгебра: основной выпускной год.

[4] Якобсон (1964), п. 4, Def. 1; Несократимый модуль в PlanetMath.

[1]

[2]

[3]

[4]