Полугруппа Манна - Munn semigroup - Wikipedia

В математике Манн полугруппа - обратная полугруппа изоморфизмов между главными идеалами полурешетка (коммутативная полугруппа идемпотентов). Полугруппы Манна названы в честь шотландского математика. Уолтер Дуглас Манн (1929–2008).^[1]

Шаги строительства

Позволять ${\displaystyle E}$ - полурешетка.

1) Для всех е в E, мы определяем Ee: = {я ∈ E : я ≤ е} который является главный идеал изE.

2) Для всех е, ж в E, мы определяем Т_е,ж как набор изоморфизмы из Ee наEf.

3) Полугруппа Манна группы полурешетка E определяется как: Т_E := ${\displaystyle \bigcup _{e,f\in E}}$ { Т_е,ж : (е, ж) ∈ U}.

Работа полугруппы - это композиция частичные сопоставления. Фактически, мы можем наблюдать, что Т_E ⊆ я_E куда я_E это симметричная инверсная полугруппа поскольку все изоморфизмы являются частичными однозначными отображениями из подмножеств E на подмножестваE.

В идемпотенты полугруппы Манна являются тождественными отображениями 1_Ee.

Теорема

Для каждой полурешетки ${\displaystyle E}$, полурешетка идемпотентов ${\displaystyle T_{E}}$ изоморфна E.

Пример

Позволять ${\displaystyle E=\{0,1,2,...\}}$. потом ${\displaystyle E}$ является полурешеткой относительно обычного порядка натуральных чисел (${\displaystyle 0<1<2<...}$Основные идеалы ${\displaystyle E}$ тогда ${\displaystyle En=\{0,1,2,...,n\}}$ для всех ${\displaystyle n}$. Итак, основные идеалы ${\displaystyle Em}$ и ${\displaystyle En}$ изоморфны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m=n}$.

Таким образом ${\displaystyle T_{n,n}}$ = {${\displaystyle 1_{En}}$} куда ${\displaystyle 1_{En}}$ является тождественным отображением от En до самого себя, и ${\displaystyle T_{m,n}=\emptyset }$ если ${\displaystyle m\not =n}$. Полугрупповое произведение ${\displaystyle 1_{Em}}$ и ${\displaystyle 1_{En}}$ является ${\displaystyle 1_{E\operatorname {min} \{m,n\}}}$. В этом примере ${\displaystyle T_{E}=\{1_{E0},1_{E1},1_{E2},\ldots \}\cong E.}$

Рекомендации

1. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Уолтер Дуглас Манн", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.

• Хауи, Джон М. (1995), Введение в теорию полугрупп, Оксфорд: научное издание Оксфорда..
• Митчелл, Джеймс Д. (2011), Полугруппы Манна полурешеток размера не выше 7.