N-арная группа - N-ary group

В математика, и в частности универсальная алгебра, концепция п-арная группа (также называемый п-группа или многопользовательская группа) является обобщением концепции группа к набору грамм с п-арная операция вместо бинарной операции.^[1] Автор п-арная операция подразумевается любая карта f: G^п → G от п-я декартова степень грамм к грамм. В аксиомы для п-арные группы определены таким образом, что они сводятся к группам в случае п = 2. Самые ранние работы над этими структурами были выполнены в 1904 году Каснером и в 1928 году Дёрнте;^[2] первый систематический отчет (то, что тогда называлось) полиадические группы был дан в 1940 году Эмиль Леон Пост в известной 143-страничной газете в Труды Американского математического общества.^[3]

Аксиомы

Ассоциативность

Самая простая для обобщения аксиома - это ассоциативный закон. Тернарная ассоциативность - это полиномиальное тождество (abc)де = а(bcd)е = ab(cde), т.е. равенство трех возможных скобок строки abcde в скобках заключены любые три последовательных символа. (Здесь подразумевается, что уравнения справедливы для произвольного выбора элементов а, б, в, г, д в грамм.) В целом, п-арная ассоциативность - это равенство п возможные скобки строки, состоящей из п+(п-1) = 2н-1 различные символы с любыми п последовательные символы в квадратных скобках. Множество грамм который замкнут относительно ассоциативной п-арная операция называется п-арная полугруппа. Множество грамм который замкнут при любых (не обязательно ассоциативных) п-арная операция называется п-ари группоид.

Обратные / уникальные решения

Обратная аксиома обобщается следующим образом: в случае бинарных операций существование обратных средних топор = б имеет уникальное решение для Икс, и аналогично ха = б имеет уникальное решение. В тернарном случае мы обобщаем это на abx = c, Axb = c и xab = c каждый имеет уникальные решения, а п-арный случай следует аналогичной схеме существования единственных решений, и мы получаем п-арная квазигруппа.

Значение н-арный группа

An п-арная группа является п-арная полугруппа, которая также является п-арная квазигруппа.

Идентичность / нейтральные элементы

В 2-арном случае, то есть для обычной группы, существование единичного элемента является следствием ассоциативности и обратных аксиом, однако в n-арных группах для n ≥ 3 может быть ноль, один или несколько единичных элементов. .

An п-арный группоид (грамм, ƒ) с ƒ = (Икс₁ ◦ Икс₂ ◦ . . . ◦ Икс_п), где (грамм, ◦) группа называется приводимой или производной от группы (грамм, ◦). В 1928 году Дёрнте ^[2] опубликовали первые основные результаты: п-арный группоид, приводимый п-арная группа, однако для всех п > 2 существует п-арные группы, которые не приводятся. В некоторых п-арными группами существует элемент е (называется п-арная идентичность или нейтральный элемент), так что любая строка п-элементы, состоящие из всех е's, кроме одного места, сопоставляется с элементом в этом месте. Например, в четверной группе с идентичностью е, eeae = а для каждого а.

An п-арная группа, содержащая нейтральный элемент, приводима. Таким образом, п-арная группа, которая не сводится, таких элементов не содержит. Существуют п-арные группы с более чем одним нейтральным элементом. Если набор всех нейтральных элементов п-арная группа не пуста, она образует п-арная подгруппа.^[4]

Некоторые авторы включают идентичность в определение п-арная группа, но, как упоминалось выше, такая п-арные операции - это просто повторяющиеся бинарные операции. Группы с внутренне п-арные операции не имеют элемента идентичности.^[5]

Более слабые аксиомы

Аксиомы ассоциативности и единственные решения в определении п-арная группа сильнее, чем должна быть. При предположении п-арная ассоциативность достаточно постулировать существование решения уравнений с неизвестным в начале или в конце строки или в каком-то другом месте, кроме концов; например, в 6-арном случае xabcde=ж и abcdex=ж, или выражение вроде abxcde=ж. Тогда можно доказать, что уравнение имеет единственное решение для Икс в любом месте строки.^[3]Аксиому ассоциативности можно дать и в более слабой форме.^[1]:17

пример

Ниже приводится пример трехэлементной тернарной группы, одной из четырех таких групп.^[6]

${displaystyle {egin{matrix}aaa=a&aab=b&aac=c&aba=c&abb=a&abc=b&aca=b&acb=c&acc=aaa=b&bab=c&bac=a&bba=a&bbb=b&bbc=c&bca=c&bcb=a&bcc=bcaa=c&cab=a&cac=b&cba=b&cbb=c&cbc=a&cca=a&ccb=b&ccc=cend{matrix}}}$

(n, m) -группа

Понятие n-арной группы может быть далее обобщено до концепции n-арной группы. (n, m) -группа, также известный как векторнозначная группа, которое является множеством G с отображением f: G^п → G^м где n> m, с учетом аксиом, аналогичных n-мерной группе, за исключением того, что результатом отображения является слово, состоящее из m букв вместо одной буквы. Итак, (n, 1) -группа - это n-арная группа. (n, m) -группы были введены Гупоной в 1983 году.^[7]

Смотрите также

• Универсальная алгебра

Рекомендации

1. Дудек, В.А. (2001), "О некоторых старых и новых проблемах в п-арные группы " (PDF), Квазигруппы и родственные системы, 8: 15–36.
2. W. Dörnte, Untersuchungen über einen verallgemeinerten Gruppenbegriff, Mathematische Zeitschrift, т. 29 (1928), стр. 1-19.
3. Э. Л. Пост, Полиадические группы, Труды Американского математического общества 48 (1940), 208–350.
4. Веслав А. Дудек, Замечания к результатам Глазека на п-арные группы, Обсуждения Mathematicae. Общая алгебра и приложения 27 (2007), 199–233.
5. Веслав А. Дудек и Казимеж Глазек, Вокруг теоремы Хоссу-Глускина для п-арные группы, Дискретная математика 308 (2008), 486–4876.
6. http://tamivox.org/dave/math/tern_quasi/assoc12345.html
7. О (n, m) -группах, Я. Ушан - Mathematica Moravica, 2000

дальнейшее чтение

• Русаков С.А. Некоторые приложения n-арной теории групп, Белорусская навука, Минск, 1998.