Nambooripad порядок - Nambooripad order

В математике Nambooripad порядок[1] (также называемый Частичный порядок Намбоорипада) является определенным естественным частичный заказ на регулярная полугруппа обнаружен K S S Nambooripad[2] в конце семидесятых. Поскольку тот же частичный порядок был независимо открыт Робертом Э. Хартвигом,[3] некоторые авторы называют это Порядок Хартвига – Намбоорипада.[4] «Естественный» здесь означает, что порядок определяется в терминах операции над полугруппой.

В общем, порядок Намбоорипада в регулярной полугруппе равен не совместим с умножением. Он совместим с умножением, только если полугруппа псевдообратный (локально обратный).

Прекурсоры

Частичный порядок Намбоорипада является обобщением ранее известного частичного порядка на множестве идемпотенты в любом полугруппа. Частичный порядок на множестве E идемпотентов в полугруппе S определяется следующим образом: Для любого е и ж в E, е ≤ ж если и только если е = ef = fe.

Вагнер в 1952 г. распространил это на инверсные полугруппы следующим образом: Для любого а и б в инверсной полугруппе S, а ≤ б если и только если а = eb для какого-то идемпотента е вS. в симметричная инверсная полугруппа, этот порядок фактически совпадает с включением частичных преобразований, рассматриваемых как множества. Этот частичный порядок совместим с умножением с обеих сторон, то есть если а ≤ б тогда ac ≤ до н.э и ок ≤ cb для всех c вS.

Намбоорипад распространил эти определения на регулярные полугруппы.

Определения (регулярная полугруппа)

Частичный порядок в регулярной полугруппе, открытый Намбоорипадом, можно определить несколькими эквивалентными способами. Ниже приведены три из этих определений. Эквивалентность этих определений и других определений была установлена ​​Митчем.[5]

Определение (Намбоорипад)

Позволять S - любая регулярная полугруппа и S1 - полугруппа, полученная присоединением единицы 1 к S. Для любого Икс в S позволять рИкс быть Зеленый R-класс из S содержащий Икс. Соотношение рИкс ≤ ру определяется xS1 ⊆ yS1 частичный порядок в сборе Зеленые R-классы вS. За а и б в S отношение ≤ определяется

  • а ≤ б если и только если ра ≤ рб и а = fb для некоторых идемпотент ж вра

частичный порядок в S. Это естественный частичный порядок вS.

Определение (Хартвиг)

Для любого элемента а в регулярной полугруппе S, позволять V(а) - множество обратных а, то есть совокупность всех Икс в S такой, что акса = а и xax = Икс. За а и б в S отношение ≤ определяется

  • а ≤ б если и только если аа = a'b и аа '  = ба ' для некоторых а ' вV(а)

частичный порядок в S. Это естественный частичный порядок в S.

Определение (Митч)

За а и б в регулярной полугруппе S отношение ≤ определяется

  • а ≤ б если и только если а = ха = xb = к для какого-то элемента Икс и у вS

частичный порядок в S. Это естественный частичный порядок в S.

Расширение на произвольные полугруппы (П.Р. Джонс)

За а и б в произвольной полугруппе S, а ≤J б если есть е, ж идемпотенты в S1 такой, что а = быть = fb.

Это рефлексивное отношение на любой полугруппе, и если S регулярно совпадает с порядком Намбоорипад.[6]

Естественный частичный заказ Митча

Далее Митч обобщил определение порядка Намбоорипада на произвольные полугруппы.[7][8]

Самая проницательная формулировка заказа Митча заключается в следующем. Позволять а и б - два элемента произвольной полугруппы S. потом а ≤M б если есть т и s в S1 такой, что tb = та = а = в качестве = bs.

Вообще говоря, для произвольной полугруппы ≤J является подмножеством ≤M. За эпигруппы однако они совпадают. Кроме того, если б является регулярным элементом S (которые не обязательно должны быть регулярными), то для любого а в S а ≤J b если и только если a ≤M б.[6]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Томас Скотт Блит (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры. Springer. стр.228 –232. ISBN  978-1-85233-905-0.
  2. ^ К.С.С. Намбоорипад (1980). «Естественный частичный порядок на регулярной полугруппе». Труды Эдинбургского математического общества. 23 (3): 249–260. Дои:10.1017 / s0013091500003801.
  3. ^ Р. Хартвиг ​​(1980). «Как частично заказать штатные элементы». Mathematica Japonica. 25 (1): 1–13.
  4. ^ Дж. Б. Хикки (2004). «О сохранении регулярности на полугруппе». Бюллетень Австралийского математического общества. 69: 69–86. Дои:10,1017 / с0004972700034274.
  5. ^ Х. Митч (июль 1986 г.). «Естественный частичный порядок для полугрупп» (PDF). Труды Американского математического общества. 97 (3): 384. Дои:10.1090 / s0002-9939-1986-0840614-0. Получено 11 апреля 2011.
  6. ^ а б Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп. Издательство Оксфордского университета. стр.46 –48. ISBN  978-0-19-853577-5.
  7. ^ Питер М. Хиггинс (1994). «Заказ Митча на полугруппу». Полугруппа Форум. 49 (1): 261–266. Дои:10.1007 / BF02573488.
  8. ^ Марио Петрич (2001). «Некоторые частичные порядки на полугруппах» (PDF). Чехословацкий математический журнал. 51 (2): 415–432. Дои:10.1023 / а: 1013711417539. HDL:10338.dmlcz / 127657. Получено 11 апреля 2011.