Порядок (теория колец) - Order (ring theory)

Сюда перенаправляется "максимальный порядок". О максимальном порядке арифметической функции см. Экстремальные порядки арифметической функции.

В математика, порядок в смысле теория колец это подкольцо ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ из звенеть ${\displaystyle A}$, так что

1. ${\displaystyle A}$ является конечномерным алгебра над поле ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ из рациональное число
2. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ пролеты ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, и
3. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ это ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-решетка в ${\displaystyle A}$.

Последние два условия можно сформулировать менее формально: ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ это свободная абелева группа генерируется на основе ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

В более общем плане для ${\displaystyle R}$ область целостности, содержащаяся в поле ${\displaystyle K}$, мы определяем ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ быть ${\displaystyle R}$-заказ в ${\displaystyle K}$-алгебра ${\displaystyle A}$ если это подкольцо ${\displaystyle A}$ что является полным ${\displaystyle R}$-решетка.^[1]

Когда ${\displaystyle A}$ это не коммутативное кольцо, идея порядка по-прежнему важна, но явления другие. Например, Кватернионы Гурвица сформировать максимальный порядок в кватернионы с рациональными координатами; это не кватернионы с целочисленными координатами в самом очевидном смысле. Как правило, максимальные порядки существуют, но не обязательно должны быть уникальными: обычно нет самого большого заказа, а есть несколько максимальных заказов. Важный класс примеров - это пример интегральных групповые кольца.

Примеры

Некоторые примеры заказов:^[2]

• Если ${\displaystyle A}$ это матричное кольцо ${\displaystyle M_{n}(K)}$ над ${\displaystyle K}$, то кольцо матриц ${\displaystyle M_{n}(R)}$ над ${\displaystyle R}$ является ${\displaystyle R}$-Заказать в ${\displaystyle A}$
• Если ${\displaystyle R}$ является областью целостности и ${\displaystyle L}$ конечный отделяемое расширение из ${\displaystyle K}$, то целостное закрытие ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle R}$ в ${\displaystyle L}$ является ${\displaystyle R}$-Заказать в ${\displaystyle L}$.
• Если ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle A}$ является составной элемент над ${\displaystyle R}$, то кольцо многочленов ${\displaystyle R[a]}$ является ${\displaystyle R}$-порядок в алгебре ${\displaystyle K[a]}$
• Если ${\displaystyle A}$ это групповое кольцо ${\displaystyle K[G]}$ конечной группы ${\displaystyle G}$, тогда ${\displaystyle R[G]}$ является ${\displaystyle R}$-заказ на ${\displaystyle K[G]}$

Основное свойство ${\displaystyle R}$-orders состоит в том, что каждый элемент ${\displaystyle R}$-заказ интеграл над ${\displaystyle R}$.^[3]

Если интегральное замыкание ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle R}$ в ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle R}$-order, то этот результат показывает, что ${\displaystyle S}$ должен быть^{[требуется разъяснение ]} максимальный ${\displaystyle R}$-Заказать в ${\displaystyle A}$. Однако эта гипотеза не всегда выполняется: действительно ${\displaystyle S}$ не обязательно даже кольцо, и даже если ${\displaystyle S}$ кольцо (например, когда ${\displaystyle A}$ коммутативна), то ${\displaystyle S}$ не обязательно быть ${\displaystyle R}$-решетка.^[3]

Алгебраическая теория чисел

Ведущим примером является случай, когда ${\displaystyle A}$ это числовое поле ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ это его кольцо целых чисел. В алгебраическая теория чисел есть примеры для любого ${\displaystyle K}$ кроме рационального поля собственных подколец кольца целых чисел, которые также являются порядками. Например, в расширении поля ${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$ из Гауссовские рациональные числа над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, интегральное замыкание ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ кольцо Гауссовские целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ и так это уникальный максимальный ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-заказ: все остальные заказы в ${\displaystyle A}$ содержатся в нем. Например, мы можем взять подкольцо комплексных чисел в виде ${\displaystyle a+2bi}$, с ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ целые числа.^[4]

Вопрос о максимальном порядке может быть рассмотрен на местное поле уровень. Этот прием применяется в алгебраической теории чисел и модульная теория представлений.

Смотрите также

• Кватернионный порядок Гурвица - Пример заказа звонка

Примечания

1. Райнер (2003) стр. 108
2. Райнер (2003), стр. 108–109.
3. Райнер (2003) стр. 110
4. Pohst и Zassenhaus (1989) стр. 22

Рекомендации

• Pohst, M .; Цассенхаус, Х. (1989). Алгоритмическая алгебраическая теория чисел. Энциклопедия математики и ее приложений. 30. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-33060-2. Zbl  0685.12001.
• Райнер, И. (2003). Максимальные заказы. Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 28. Oxford University Press. ISBN  0-19-852673-3. Zbl  1024.16008.