Представление перестановки - Permutation representation

В математика, период, термин перестановочное представление из (обычно конечного) группа ${ displaystyle G}$ может относиться к любому из двух тесно связанных понятий: представление из ${ displaystyle G}$ как группа перестановки, или как группа матрицы перестановок. Этот термин также относится к их комбинации.

Абстрактное представление перестановки

А перестановочное представление из группа ${ displaystyle G}$ на набор ${ displaystyle X}$ это гомоморфизм из ${ displaystyle G}$ к симметричная группа из ${ displaystyle X}$ :

{ displaystyle rho двоеточие G to operatorname {Sym} (X).}

Изображение ${ Displaystyle rho (G) подмножество OperatorName {Sym} (X)}$ это группа перестановок и элементы ${ displaystyle G}$ представлены как перестановки ${ displaystyle X}$ .^[1] Представление перестановки эквивалентно действие из ${ displaystyle G}$ на съемочной площадке ${ displaystyle X}$ :

{ displaystyle G times X to X.}

См. Статью о групповое действие для получения дополнительной информации.

Линейное представление перестановки

Если ${ displaystyle G}$ это группа перестановок степени ${ displaystyle n}$ , то перестановочное представление из ${ displaystyle G}$ это линейное представление из ${ displaystyle G}$

{ displaystyle rho двоеточие G to operatorname {GL} _ {n} (K)}

который отображает ${ displaystyle g in G}$ к соответствующему матрица перестановок (здесь ${ displaystyle K}$ произвольный поле ).^[2] То есть, ${ displaystyle G}$ действует на ${ displaystyle K ^ {n}}$ путем перестановки стандартных базисных векторов.

Это понятие представления перестановки, конечно, может быть составлено с предыдущим для представления произвольной абстрактной группы. ${ displaystyle G}$ как группа матриц перестановок. Один первый представляет ${ displaystyle G}$ как группу перестановок, а затем отображает каждую перестановку в соответствующую матрицу. Представляя ${ displaystyle G}$ как группа перестановок, действующая на себя посредством перевод, получаем регулярное представительство.

Характер перестановочного представления

Учитывая группу ${ displaystyle G}$ и конечное множество ${ displaystyle X}$ с ${ displaystyle G}$ действующий на съемочной площадке ${ displaystyle X}$ затем персонаж ${ displaystyle chi}$ перестановочного представления равно количеству неподвижных точек ${ displaystyle X}$ под действием ${ displaystyle rho (g)}$ на ${ displaystyle X}$ . То есть ${ Displaystyle чи (г) =}$ количество точек ${ displaystyle X}$ фиксируется ${ displaystyle rho (g)}$ .

Это следует из того, что если мы представим карту ${ displaystyle rho (g)}$ с матрицей с базисом, определяемым элементами ${ displaystyle X}$ мы получаем матрицу перестановок ${ displaystyle X}$ . Теперь характер этого представления определяется как след этой матрицы перестановок. Элемент на диагонали матрицы перестановок равен 1, если точка в ${ displaystyle X}$ фиксировано, и 0 в противном случае. Таким образом, мы можем сделать вывод, что след матрицы перестановок в точности равен количеству неподвижных точек ${ displaystyle X}$ .

Например, если ${ displaystyle G = S_ {3}}$ и ${ Displaystyle X = {1,2,3 }}$ характер представления перестановки можно вычислить по формуле ${ Displaystyle чи (г) =}$ количество точек ${ displaystyle X}$ фиксируется ${ displaystyle g}$ .Так