Полиадическое пространство - Polyadic space

В математике полиадическое пространство это топологическое пространство это изображение под непрерывная функция из топологическая мощность из Одноточечная компактификация Александрова дискретного топологического пространства.

История

Полиадические пространства были впервые изучены С. Мрувкой в ​​1970 г. как обобщение диадические пространства.^[1] Теория была развита Р. Х. Марти, Яношом Герлитсом и Мюрреем Г. Беллом,^[2] последний из которых ввел понятие более общего центрированные пространства.^[1]

Фон

Подмножество K топологического пространства Икс как говорят компактный если каждый открытый крышка из K содержит конечное подпокрытие. Он называется локально компактным в точке Икс ∈ Икс если Икс лежит внутри некоторого компактного подмножества Икс. Икс это локально компактное пространство если он локально компактен в каждой точке пространства.^[3]

Правильное подмножество А ⊂ Икс как говорят плотный если закрытие Ā = Икс. Пространство, множество которого имеет счетное плотное подмножество, называется отделяемое пространство.

Для некомпактного локально компактного хаусдорфова топологического пространства ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$, определяем одноточечную компактификацию Александрова как топологическое пространство с множеством ${\displaystyle \left\{\omega \right\}\cup X}$, обозначенный ${\displaystyle \omega X}$, куда ${\displaystyle \omega \notin X}$, с топологией ${\displaystyle \tau _{\omega X}}$ определяется следующим образом:^[2][4]

• ${\displaystyle \tau _{X}\subseteq \tau _{\omega X}}$
• ${\displaystyle X\setminus C\cup \left\{\omega \right\}\in \tau _{\omega X}}$, для каждого компактного подмножества ${\displaystyle C\subseteq X}$.

Определение

Позволять ${\displaystyle X}$ - дискретное топологическое пространство, и пусть ${\displaystyle \omega X}$ - Александровская одноточечная компактификация ${\displaystyle X}$. Хаусдорфово пространство ${\displaystyle P}$ полиадичен, если для некоторых количественное числительное ${\displaystyle \lambda }$, существует непрерывная сюръективная функция ${\displaystyle f:\omega X^{\lambda }\rightarrow P}$, куда ${\displaystyle \omega X^{\lambda }}$ это пространство продукта, полученное умножением ${\displaystyle \omega X}$ с собой ${\displaystyle \lambda }$ раз.^[5]

Примеры

Возьмите набор натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} +}$ с дискретной топологией. Его Александровская одноточечная компактификация ${\displaystyle \omega \mathbb {Z} +}$. выбирать ${\displaystyle \lambda =1}$ и определим гомеоморфизм ${\displaystyle h:\omega \mathbb {Z} +\rightarrow \left[0,1\right]}$ с отображением

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} +\\0,&{\text{if }}x=\omega \end{cases}}}$

Из определения следует, что пространство ${\displaystyle \left\{0\right\}\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{1/n\right\}}$ является полиадическим и компактным непосредственно из определения компактности, без использования Гейне-Бореля.

Каждое диадическое пространство (компактное пространство, которое является непрерывным образом канторова множества^[6]) - полиадическое пространство.^[7]

Позволять Икс быть отделимым компактным пространством. Если Икс это метризуемое пространство, то он полиадический (верно и обратное).^[2]

Характеристики

Клеточность ${\displaystyle c(X)}$ пространства ${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle \sup \left\{\vert B\vert :B{\text{ is a disjoint collection of open sets of }}X\right\}}$. Герметичность ${\displaystyle t(X)}$ пространства ${\displaystyle X}$ определяется следующим образом: пусть ${\displaystyle A\subset X}$, и ${\displaystyle p\in {\bar {A}}}$. Мы определяем ${\displaystyle a(p,A):=\min \left\{\vert B\vert :p\in {\bar {B}},B\subset A\right\}}$, и определим ${\displaystyle t(p,X):=\sup \left\{a(p,A):A\subset X,p\in {\bar {A}}\right\}}$. потом ${\displaystyle t(X):=\sup \left\{t(p,X):p\in X\right\}.}$^[8] В топологический вес ${\displaystyle w(X)}$ полиадического пространства ${\displaystyle X}$ удовлетворяет равенству ${\displaystyle w(X)=c(X)\cdot t(X)}$.^[9]

Позволять ${\displaystyle X}$ - полиадическое пространство, и пусть ${\displaystyle A\subset X}$. Тогда существует полиадическое пространство ${\displaystyle P\subset X}$ такой, что ${\displaystyle A\subset P}$ и ${\displaystyle c(P)\leq c(A)}$.^[9]

Полиадические пространства - это наименьший класс топологических пространств, содержащих метрические компактные пространства и замкнутых относительно произведений и непрерывных образов.^[10] Каждое полиадическое пространство ${\displaystyle X}$ веса ${\displaystyle \leq 2^{\omega }}$ это непрерывный образ ${\displaystyle \mathbb {Z} +}$.^[10]

Топологическое пространство Икс имеет Суслин недвижимость если не существует несчетного семейства попарно непересекающихся непустых открытых подмножеств X.^[11] Предположим, что Икс обладает свойством Суслина и Икс полиадический. потом Икс диадический.^[12]

Позволять ${\displaystyle dis(X)}$ быть наименьшим количеством дискретных наборов, необходимых для покрытия ${\displaystyle X}$, и разреши ${\displaystyle \Delta (X)}$ обозначим наименьшую мощность непустого открытого множества в ${\displaystyle X}$. Если ${\displaystyle X}$ полиадическое пространство, то ${\displaystyle dis(X)\geq \Delta (X)}$.^[9]

Теорема Рамсея

Есть аналог Теорема Рамсея из комбинаторики полиадических пространств. Для этого опишем взаимосвязь между Булевы пространства и полиадические пространства. Позволять ${\displaystyle CO(X)}$ обозначить прищемить алгебра всех открыто-замкнутых подмножеств ${\displaystyle X}$. Мы определяем булево пространство как компактное хаусдорфово пространство, базис которого ${\displaystyle CO(X)}$. Элемент ${\displaystyle G\in CO(X)'}$ такой, что ${\displaystyle \langle \langle G\rangle \rangle =CO(X)}$ называется генераторной установкой для ${\displaystyle CO(X)}$. Мы говорим ${\displaystyle G}$ это ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$-связанная коллекция, если ${\displaystyle G}$ это объединение не более чем ${\displaystyle \tau }$ подколлекции ${\displaystyle G_{\alpha }}$, где для каждого ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle G_{\alpha }}$ является непересекающимся набором мощности не более ${\displaystyle \kappa }$ Петр Симон доказал, что ${\displaystyle X}$ - булево пространство с порождающим множеством ${\displaystyle G}$ из ${\displaystyle CO(X)}$ существование ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$-без пересечения тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ гомеоморфно замкнутому подпространству в ${\displaystyle \alpha \kappa ^{\tau }}$.^[8] Рэмси-подобное свойство для полиадических пространств, как было заявлено Мюрреем Беллом для булевых пространств, имеет следующий вид: каждая несчетная коллекция clopen содержит несчетную подколлекцию, которая либо связана, либо не пересекается.^[13]

Компактность

Мы определяем число компактности пространства ${\displaystyle X}$, обозначаемый ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X}$, чтобы быть наименьшим числом ${\displaystyle n}$ такой, что ${\displaystyle X}$ имеет n-арный закрытый подоснование. Мы можем строить полиадические пространства с произвольным числом компактности. Мы продемонстрируем это с помощью двух теорем, доказанных Мюрреем Беллом в 1985 г. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ быть набором множеств и пусть ${\displaystyle S}$ быть набором. Обозначим множество ${\displaystyle \{\bigcap {\mathcal {F}}:{\mathcal {F}}{\text{ is a finite subset of }}{\mathcal {S}}\}}$ к ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$; все подмножества ${\displaystyle S}$ размера ${\displaystyle n}$ к ${\displaystyle [S]^{n}}$; и все подмножества размера не более ${\displaystyle n}$ к ${\displaystyle [S]^{<=n}}$. Если ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$ и ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ для всех ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in [{\mathcal {S}}]^{n}}$, то мы говорим, что ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ n-связанный. Если каждое n-связанное подмножество ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ имеет непустое пересечение, то мы говорим, что ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ н-арный. Обратите внимание, что если ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ n-арный, значит, тоже ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$, и поэтому каждое пространство ${\displaystyle X}$ с ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X\leq n}$ имеет закрытую n-арную подбазу ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ с ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$. Обратите внимание, что коллекция ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ замкнутых подмножеств компактного пространства ${\displaystyle X}$ является закрытой подбазой тогда и только тогда, когда для каждого закрытого ${\displaystyle K}$ в открытом наборе ${\displaystyle U}$существует конечная ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ такой, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {S}}}$ и ${\displaystyle K\subset \bigcup {\mathcal {F}}\subset U}$.^[14]

Позволять ${\displaystyle S}$ бесконечное множество и пусть ${\displaystyle n}$ на такое число, что ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$. Мы определяем топология продукта на ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ следующим образом: для ${\displaystyle s\in S}$, позволять ${\displaystyle s^{-}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\in F\}}$, и разреши ${\displaystyle s^{+}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\notin F\}}$. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ быть коллекцией ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigcup _{s\in S}\{s^{+},s^{-}\}}$. Мы принимаем ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ в качестве закрытой подбазы для нашей топологии на ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$. Эта топология компактна и хаусдорфова. За ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle n}$ такой, что ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$у нас есть это ${\displaystyle [S]^{k}}$ является дискретным подпространством ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$, а значит, ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ это союз ${\displaystyle n+1}$ дискретные подпространства.^[14]

Теорема (Верхняя граница ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$): Для каждого общий заказ ${\displaystyle <}$ на ${\displaystyle S}$, существует ${\displaystyle n+1}$-арная закрытая база ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ из ${\displaystyle [S]^{\leq 2n}}$.

Доказательство: За ${\displaystyle s\in S}$, определять ${\displaystyle L_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t<s\}|\leq n-1\}}$ и ${\displaystyle R_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t>s\}|\leq n-1\}}$. Набор ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\bigcup _{s\in S}\{L_{s},R_{s},s^{+}\}}$. За ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ такой, что ${\displaystyle A\cup B\cup C\neq \emptyset }$, позволять ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{s}:s\in A\}\cup \{R_{s}:s\in B\}\cup \{s^{-}:s\in C\}}$ такой, что ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ является ${\displaystyle n+1}$-связанное подмножество ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$. Покажи это ${\displaystyle A\cup B\in \bigcap {\mathcal {F}}}$. ${\displaystyle \blacksquare }$

Для топологического пространства ${\displaystyle X}$ и подпространство ${\displaystyle A\in X}$, мы говорим, что непрерывная функция ${\displaystyle r:X\rightarrow A}$ это втягивание если ${\displaystyle r|_{A}}$ тождественная карта на ${\displaystyle A}$. Мы говорим что ${\displaystyle A}$ это отказ от ${\displaystyle X}$. Если существует открытый набор ${\displaystyle U}$ такой, что ${\displaystyle A\subset U\subset X}$, и ${\displaystyle A}$ это отказ от ${\displaystyle U}$, то мы говорим, что ${\displaystyle A}$ это соседский ретракт ${\displaystyle X}$.

Теорема (Нижняя граница ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$) Позволять ${\displaystyle n}$ быть таким, чтобы ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$. потом ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ не может быть встроен как соседний ретракт в любое пространство ${\displaystyle K}$ с ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,K\leq n}$.

Из двух приведенных выше теорем можно вывести, что для ${\displaystyle n}$ такой, что ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$у нас есть это ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1=\operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n}}$.

Позволять ${\displaystyle A}$ - одноточечная компактификация Александрова дискретного пространства ${\displaystyle S}$, так что ${\displaystyle A=S\cup \{\infty \}}$. Определим непрерывную сюръекцию ${\displaystyle g:A^{n}\rightarrow [S]^{\leq n}}$ к ${\displaystyle g((x_{1},...,x_{n}))=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\cap S}$. Следует, что ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ - полиадическое пространство. Следовательно ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ - полиадическое пространство с числом компактности ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1}$.^[14]

Обобщения

Центрированные пространства, AD-компактные пространства^[15] и ξ-адические пространства^[16] являются обобщениями полиадических пространств.

Центрированное пространство

Позволять ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ быть набором наборов. Мы говорим что ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ центрируется, если ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ для всех конечных подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$.^[17] Определите логическое пространство ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})=\{\chi _{T}:T{\text{ is a centred subcollection of }}{\mathcal {S}}\}}$, с топологией подпространства из ${\displaystyle 2^{\mathcal {S}}}$. Мы говорим, что пространство ${\displaystyle X}$ является центрированным пространством, если существует коллекция ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ такой, что ${\displaystyle X}$ это непрерывный образ ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})}$.^[18]

Центрированные пространства были введены Мюрреем Беллом в 2004 году.

AD-компактное пространство

Позволять ${\displaystyle X}$ - непустое множество, и рассмотрим семейство его подмножеств ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$. Мы говорим что ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ является адекватной семьей, если:

• ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\land B\subseteq {\mathcal {A}}\Rightarrow B\in {\mathcal {A}}}$
• данный ${\displaystyle A\subseteq X}$, если каждое конечное подмножество ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, тогда ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.

Мы можем лечить ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ как топологическое пространство, рассматривая его как подмножество Куб Кантора ${\displaystyle D^{X}}$, и в данном случае обозначим его ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$.

Позволять ${\displaystyle K}$ быть компактным пространством. Если существует набор ${\displaystyle X}$ и адекватная семья ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$, так что ${\displaystyle K}$ это непрерывный образ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$, то мы говорим, что ${\displaystyle K}$ является AD-компактным пространством.

AD-компактные пространства были введены Гжегожем Плебанеком. Он доказал, что они замкнуты относительно произвольных произведений и компактификаций Александрова непересекающиеся союзы. Отсюда следует, что каждое полиадическое пространство является AD-компактным пространством. Обратное неверно, поскольку существуют AD-компактные пространства, которые не являются полиадическими.^[15]

ξ-адическое пространство

Позволять ${\displaystyle \kappa }$ и ${\displaystyle \tau }$ быть кардиналами, и пусть ${\displaystyle X}$ - хаусдорфово пространство. Если существует непрерывная сюръекция из ${\displaystyle (\kappa +1)^{\tau }}$ к ${\displaystyle X}$, тогда ${\displaystyle X}$ называется ξ-адическим пространством.^[16]

ξ-адические пространства были предложены С. Мрувкой, а следующие результаты о них были даны Яношом Герлицем (они также применимы к полиадическим пространствам, поскольку они являются частным случаем ξ-адических пространств).^[19]

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ - бесконечный кардинал, и пусть ${\displaystyle X}$ быть топологическим пространством. Мы говорим что ${\displaystyle X}$ имеет свойство ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ если для любой семьи ${\displaystyle \{G_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ непустых открытых подмножеств ${\displaystyle X}$, куда ${\displaystyle |A|={\mathfrak {n}}}$, мы можем найти набор ${\displaystyle B\subset A}$ и точка ${\displaystyle p\in X}$ такой, что ${\displaystyle |B|={\mathfrak {n}}}$ и для каждого района ${\displaystyle N}$ из ${\displaystyle p}$у нас есть это ${\displaystyle |\{\beta \in B:N\cap G_{\beta }=\emptyset \}|<{\mathfrak {n}}}$.

Если ${\displaystyle X}$ является ξ-адическим пространством, то ${\displaystyle X}$ имеет свойство ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ для каждого бесконечного кардинала ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$. Из этого результата следует, что никакое бесконечное ξ-адическое хаусдорфово пространство не может быть экстремально отключенное пространство.^[19]

Гиадическое пространство

Гиадические пространства были введены Эрик ван Доувен.^[20] Они определяются следующим образом.

Позволять ${\displaystyle X}$ - хаусдорфово пространство. Обозначим через ${\displaystyle H(X)}$ гиперпространство ${\displaystyle X}$. Определим подпространство ${\displaystyle J_{2}(X)}$ из ${\displaystyle H(X)}$ к ${\displaystyle \{F\in H(X):|F|\leq 2\}}$. База ${\displaystyle H(X)}$ семейство всех множеств вида ${\displaystyle \langle U_{0},\dots ,U_{n}\rangle =\{F\in H(X):F\subseteq U_{0}\cup \dots \cup U_{n},F\cap U_{i}\neq \emptyset {\text{ for }}0\leq i\leq n\}}$, куда ${\displaystyle n}$ любое целое число, и ${\displaystyle U_{i}}$ открыты в ${\displaystyle X}$. Если ${\displaystyle X}$ компактно, то мы называем хаусдорфово пространство ${\displaystyle Y}$ является гиадической, если существует непрерывная сюръекция из ${\displaystyle H(X)}$ к ${\displaystyle Y}$.^[21]

Полиадические пространства - гиадические.^[22]

Смотрите также

• Диадическое пространство
• Eberlein compactum
• Каменное пространство
• Каменно-чешская компактификация
• Сверхкомпактное пространство

Рекомендации

1. Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воан, Джерри Э. (2003). «Диадическая компактность». Энциклопедия общей топологии. Elsevier Science. п.193. ISBN  978-0444503558.
2. Аль-Махруки, Шарифа (2013). Компактные топологические пространства, вдохновленные комбинаторными конструкциями (Тезис). Университет Восточной Англии. С. 8–13.
3. Мёллер, Джеспер М. (2014). «Топологические пространства и непрерывные отображения». Общая топология. п. 58. ISBN  9781502795878.
4. Ткачук, Владимир В. (2011). «Основные понятия топологии и функциональных пространств». Сборник задач Cp-теории: топологические и функциональные пространства. Springer Science + Business Media. п.35. ISBN  9781441974426.
5. Турзанский, Мариан (1996). Кубы Кантора: Цепные условия. Wydawnictwo Uniwersytetu ląskiego. п. 19. ISBN  978-8322607312.
6. Нагата, Джун-Ити (1985-11-15). «Темы, связанные с отображениями». Современная общая топология. п.298. ISBN  978-0444876553.
7. Дикранджан, Дикран; Сальсе, Луиджи (1998). Абелевы группы, теория модулей и топология. CRC Press. п. 339. ISBN  9780824719371.
8. Белл, Мюррей (2005). «Плотность в полиадических пространствах» (PDF). Топология Труды. Обернский университет. 25: 2–74.
9. Спадаро, Санти (22 мая 2009 г.). «Примечание о дискретных наборах». Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae. 50 (3): 463–475. arXiv:0905.3588.
10. Кошмидер, Петр (2012). «Универсальные объекты и ассоциации между классами банаховых пространств и классами компактных пространств». arXiv:1209.4294 [math.FA ].
11. «Комплексный экзамен по топологии» (PDF). Университет Огайо. 2005. Архивировано с оригинал (PDF) на 2015-02-14. Получено 2015-02-14.
12. Турзанский, Мариан (1989). «Об обобщениях диадических пространств». Acta Universitatis Carolinae. Математика и физика. 30 (2): 154. ISSN  0001-7140.
13. Белл, Мюррей (1996-01-11). "Теорема Рамсея для полиадических пространств". Университет Теннесси в Мартине. Получено 2015-02-14.
14. Белл, Мюррей (1985). «Полиадические пространства произвольных чисел компактности». Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae. Карлов университет в Праге. 26 (2): 353–361. Получено 2015-02-27.
15. Плебанек, Гжегож (1995-08-25). «Компактные пространства, возникающие из адекватных семейств множеств». Топология и ее приложения. Эльзевир. 65 (3): 257–270. Дои:10.1016/0166-8641(95)00006-3.
16. Белл, Мюррей (1998). «О характере и состоянии цепочки в изображениях товаров» (PDF). Fundamenta Mathematicae. Польская Академия Наук. 158 (1): 41–49.
17. Белл, Мюррей. «Обобщенные диадические пространства» (PDF): 47–58. В архиве (PDF) из оригинала 2011-06-08. Получено 2014-02-27.
18. Белл, Мюррей (2004). «Функциональные пространства на τ-компактах Корсона и герметичность полиадических пространств». Чехословацкий математический журнал. 54 (4): 899–914. Дои:10.1007 / s10587-004-6439-z.
19. Герлиц, Янош (1971). Новак, Йозеф (ред.). «О м-адических пространствах». Общая топология и ее связь с современным анализом и алгеброй, Труды Третьего Пражского топологического симпозиума. Прага: Издательство Academia Чехословацкой Академии наук: 147–148.
20. Белл, Мюррей (1988). «Gₖ подпространства гиадических пространств» (PDF). Труды Американского математического общества. Американское математическое общество. 104 (2): 635–640. Дои:10.2307/2047025. JSTOR  2047025.
21. ван Доувен, Эрик К. (1990). «Отображения из гиперпространств и сходящиеся последовательности». Топология и ее приложения. Эльзевир. 34 (1): 35–45. Дои:10.1016 / 0166-8641 (90) 90087-я.
22. Банах, Тарас (2003). «О кардинальных инвариантах и ​​метризуемости топологических обратных полугрупп Клиффорда». Топология и ее приложения. Эльзевир. 128 (1): 38. Дои:10.1016 / S0166-8641 (02) 00083-4.