Предварительная упаковка - Prestack

В алгебраическая геометрия, а предварительное суммирование F по категории C оснащен некоторыми Топология Гротендика категория вместе с функтором п: F → C удовлетворение определенное условие подъема и такие, что (когда слои являются группоидами) локально изоморфные объекты изоморфны. А куча представляет собой предварительный стек с эффективными спусками, то есть локальные объекты могут быть объединены вместе, чтобы стать глобальным объектом.

Предварительные стеки, которые появляются в природе, обычно представляют собой стеки, но некоторые наивно сконструированные предварительные стеки (например, группоидная схема или предварительная стопка проективизированные векторные расслоения ) не могут быть стеками. Предварительные пакеты можно изучать самостоятельно или передан в стопки.

Поскольку стек является предварительным, все результаты предварительных сумм также действительны для стеков. На протяжении всей статьи мы работаем с фиксированной базовой категорией C; Например, C может быть категорией всех схем над некоторой фиксированной схемой, снабженной некоторыми Топология Гротендика.

Определение

Позволять F быть категорией и предположим, что это запутался C через функтор ${\displaystyle p:F\to C}$; это означает, что можно построить обратные образы по морфизмам в C, с точностью до канонических изоморфизмов.

Учитывая объект U в C и объекты Икс, у в ${\displaystyle F(U)=p^{-1}(U)}$, для каждого морфизма ${\displaystyle f:V\to U}$ в C, после исправления откатов ${\displaystyle f^{*}x,f^{*}y}$, мы позволяем^[1][2]

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]}$

- множество всех морфизмов из ${\displaystyle f^{*}x}$ к ${\displaystyle f^{*}y}$; здесь скобка означает, что мы канонически идентифицируем разные множества Hom, возникающие в результате различного выбора откатов. Для каждого ${\displaystyle g:W\to V}$ над U, определите карту ограничений из ж к грамм: ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)}$быть составом

${\displaystyle [\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]{\overset {g^{*}}{\to }}[\operatorname {Hom} (g^{*}(f^{*}x),g^{*}(f^{*}y))]=[\operatorname {Hom} ((f\circ g)^{*}x,(f\circ g)^{*}y)]}$

где канонический изоморфизм ${\displaystyle g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}}$ используется для получения знака = справа. потом ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ это предпучка на категория срезов ${\displaystyle C_{/U}}$, категория всех морфизмов в C с целью U.

По определению, F является предварительным суммированием, если для каждой пары Икс, у, ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ это связка наборов относительно индуцированного Топология Гротендика на ${\displaystyle C_{/U}}$.

Это определение можно эквивалентно сформулировать следующим образом.^[3] Во-первых, для каждой семьи покрытия ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$, мы «определяем» категорию ${\displaystyle F(\{V_{i}\to U\})}$ как категория, где: письмо ${\displaystyle p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j}\times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}}$, так далее.,

1. объект - это набор ${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}}$ пар, состоящих из предметов ${\displaystyle x_{i}}$ в ${\displaystyle F(V_{i})}$ и изоморфизмы ${\displaystyle \varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}}$ удовлетворяющие условию коцикла: ${\displaystyle p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}}$
2. морфизм ${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}}$ состоит из ${\displaystyle \alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}}$ в ${\displaystyle F(V_{i})}$ такой, что${\displaystyle \psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.}$

Объект этой категории называется нисходящей точкой отсчета. Эта категория не четко определенный; проблема в том, что откаты определяются только с точностью до канонических изоморфизмов; аналогично продукты волокна определены только с точностью до канонических изоморфизмов, несмотря на противоположную практику обозначений. На практике просто делается некоторая каноническая идентификация откатов, их составов, продуктов волокна и т.д .; с точностью до таких отождествлений указанная категория определена правильно (другими словами, она определена с точностью до канонической эквивалентности категорий).

Есть очевидный функтор ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ который отправляет объект в точку спуска, которую он определяет. Тогда можно сказать: F является предварительным суммированием тогда и только тогда, когда для каждой покрывающей семьи ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$, функтор ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ полностью верен. Подобное утверждение не зависит от выбора канонических отождествлений, упомянутых ранее.

Существенный образ ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ состоит именно из эффективных спусковых данных (просто определение «эффективный»). Таким образом, F является стеком тогда и только тогда, когда для каждого покрывающего семейства ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$, ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ эквивалентность категорий.

Эти переформулировки определений предварительных сумм и стеков делают интуитивное значение этих понятий очень явным: (1) «расслоенная категория» означает, что можно построить обратную связь (2) «предварительная суммирование в группоидах» дополнительно означает, что «локально изоморфный» подразумевает «изоморфный» ( 3) «стек в группоидах» означает, в дополнение к предыдущим свойствам, глобальный объект может быть сконструирован из локальных данных с учетом условий коцикла. Все это работает каноническим изоморфизмам.

Морфизмы

Смотрите также: Морфизм алгебраических стеков

Определения

Данные предварительные стеки ${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$ сверх фиксированной базовой категории C, морфизм ${\displaystyle f:F\to G}$ - функтор такой, что (1) ${\displaystyle q\circ f=p}$ и (2) он отображает декартовы морфизмы в декартовы морфизмы. Примечание (2) автоматически, если грамм расслоен в группоидах; например, алгебраический стек (так как тогда все морфизмы декартовы.)

Если ${\displaystyle p:F_{S}\to C}$ это стек, связанный со схемой S в базовой категории C, то волокно ${\displaystyle p^{-1}(U)=F_{S}(U)}$ есть по построению множество всех морфизмов из U к S в C. Аналогично по схеме U в C рассматривается как стек (т.е. ${\displaystyle F_{U}}$) и категории F расслоен в группоидах над C, то 2-лемма Йонеды говорит: существует естественная эквивалентность категорий^[4]

${\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}(U,F){\overset {\chi \mapsto \chi (1_{U})}{\to }}F(U)}$

куда ${\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}}$ относится к относительной категория функторов; объекты являются функторами из U к F над C а морфизмы - естественные преобразования, сохраняющие базу.^[5]

Волокнистый продукт

Позволять ${\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}$ быть морфизмами предварительных сумм. Тогда по определению^[6] волокнистый продукт ${\displaystyle F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G}$ это категория, в которой

1. объект - тройка ${\displaystyle (x,y,\psi )}$ состоящий из объекта Икс в F, объект у в грамм, оба над одним и тем же объектом в C, и изоморфизм ${\displaystyle \psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$ в грамм над морфизмом идентичности в C, и
2. морфизм ${\displaystyle (x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')}$ состоит из ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ в F, ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ в грамм, оба над одним и тем же морфизмом в C, так что ${\displaystyle g(\beta )\circ \psi =\psi '\circ f(\alpha )}$.

Он поставляется с забывчивыми функторами п, q из ${\displaystyle F\times _{B}G}$ к F и грамм.

Этот продукт из волокна ведет себя как обычный продукт из волокна, но с точностью до естественного изоморфизма. Смысл этого в следующем. Во-первых, очевидный квадрат не коммутируется; вместо этого для каждого объекта ${\displaystyle (x,y,\psi )}$ в ${\displaystyle F\times _{B}G}$:

${\displaystyle \psi :(f\circ p)(x,y,\psi )=f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi )}$.

То есть есть обратимый естественная трансформация (= естественный изоморфизм)

${\displaystyle \Psi :f\circ p{\overset {\sim }{\to }}g\circ q}$.

Во-вторых, он удовлетворяет строгому универсальному свойству: с учетом предварительного суммирования ЧАС, морфизмы ${\displaystyle u:H\to F}$, ${\displaystyle v:H\to G}$, естественный изоморфизм ${\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}$, существует ${\displaystyle w:H\to F\times _{B}G}$ вместе с естественными изоморфизмами ${\displaystyle u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w}$ и ${\displaystyle q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v}$ такой, что ${\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}$ является ${\displaystyle f\circ p\circ w{\overset {\sim }{\to }}g\circ q\circ w}$. Как правило, волокнистый продукт F и грамм над B предстек канонически изоморфен ${\displaystyle F\times _{B}G}$ над.

Когда B это базовая категория C (предварительное суммирование над собой), B отбрасывается, и один просто пишет ${\displaystyle F\times G}$. Обратите внимание: в этом случае ${\displaystyle \psi }$ в объектах все идентичности.

Пример: Для каждого предварительного суммирования ${\displaystyle p:X\to C}$, существует диагональный морфизм ${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$ данный ${\displaystyle x\mapsto (x,x,1_{p(x)})}$.

Пример: Данный ${\displaystyle F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1,2}$, ${\displaystyle (F_{1}\times F_{2})\times _{B_{1}\times B_{2}}(G_{1}\times G_{2})\simeq (F_{1}\times _{B_{1}}G_{1})\times (F_{2}\times _{B_{2}}G_{2})}$.^[7]

Пример: Данный ${\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}$ и диагональный морфизм ${\displaystyle \Delta :B\to B\times B}$,

${\displaystyle F\times _{B}G\simeq (F\times G)\times _{B\times B,f\times g,\Delta }B}$;

этот изоморфизм строится просто вручную.

Представимые морфизмы

Морфизм предварительных сумм ${\displaystyle f:X\to Y}$ как говорят сильно представимый если для каждого морфизма ${\displaystyle S\to Y}$ из схемы S в C рассматривается как предварительная укладка, волокнистый продукт ${\displaystyle X\times _{Y}S}$ предварительных суммирований - это схема в C.

В частности, определение относится к структурной карте ${\displaystyle p:X\to C}$ (базовая категория C представляет собой предварительный стек над собой через тождество). потом п сильно представима тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X\simeq X\times _{C}C}$ это схема в C.

Определение применимо также к диагональному морфизму ${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$. Если ${\displaystyle \Delta }$ сильно представима, то всякий морфизм ${\displaystyle U\to X}$ из схемы U сильно представима, поскольку ${\displaystyle U\times _{X}T\simeq (U\times T)\times _{X\times X}X}$ сильно представима для любого Т → Икс.

Если ${\displaystyle f:X\to Y}$ является сильно представимым морфизмом для любого ${\displaystyle S\to Y}$, S схема рассматривается как предварительная суммирование, проекция ${\displaystyle X\times _{Y}S\to S}$ это морфизм схем; это позволяет переносить многие понятия свойств морфизмов схем в контекст стека. А именно пусть п - свойство морфизмов в базовой категории C устойчивый к изменениям базы и локальный на топологии C (например., этальная топология или же гладкая топология ). Тогда сильно представимый морфизм ${\displaystyle f:X\to Y}$ prestacks имеет свойство п если для каждого морфизма ${\displaystyle T\to Y}$, Т схема рассматривается как предварительная суммирование, индуцированная проекция ${\displaystyle X\times _{Y}T\to T}$ имеет свойство п.

Пример: предварительная сумма, заданная действием алгебраической группы

Позволять грамм быть алгебраическая группа действуя справа по схеме Икс конечного типа над полем k. Тогда групповое действие грамм на Икс определяет предварительный стек (но не стек) по категории C из k-схемы, как показано ниже. Позволять F быть категорией, где

1. объект - это пара ${\displaystyle (U,x)}$ состоящий из схемы U в C и Икс в наборе ${\displaystyle X(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)}$,
2. морфизм ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$ состоит из ${\displaystyle U\to V}$ в C и элемент ${\displaystyle g\in G(U)}$ такой, что xg = у' где мы написали ${\displaystyle y':U\to V{\overset {y}{\to }}X}$.

Через забывчивый функтор к C, эта категория F является волокнистый в группоиды и известен как группоид действия или группоид трансформации. Его также можно назвать частное до суммирования из Икс к грамм и обозначаться как ${\displaystyle [X/G]^{pre}}$, поскольку, как выясняется, его стекификация и есть стек частных ${\displaystyle [X/G]}$. Конструкция представляет собой частный случай формирования # Предварительный набор классов эквивалентности; особенно, F это предварительный стек.

Когда Икс это точка ${\displaystyle *=\operatorname {Spec} (k)}$ и грамм аффинно, частное ${\displaystyle [*/G]^{pre}=BG^{pre}}$ классифицирующий предварительный набор грамм и его стефикация - это классифицирующий стек из грамм.

Один просмотр Икс в качестве предварительного стека (фактически стека) существует очевидное каноническое отображение

${\displaystyle \pi :X\to F}$

над C; явно, каждый объект ${\displaystyle (U,x:U\to X)}$ в предварительном стеке Икс идет к себе, и каждый морфизм ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$, удовлетворяющий Икс равно ${\displaystyle U\to V{\overset {y}{\to }}X}$ по определению, переходит к элементу группы идентичности грамм(U).

Тогда указанное выше каноническое отображение вписывается в 2-коэквалайзер (а 2-частное ):

${\displaystyle X\times G{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F}$,

куда т: (Икс, грамм) → xg - данное групповое действие и s проекция. Это не 1-коуравнитель, поскольку вместо равенства ${\displaystyle \pi \circ s=\pi \circ t}$, надо ${\displaystyle \pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t}$ данный

${\displaystyle g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).}$

Предварительный набор классов эквивалентности

Позволять Икс быть схемой в базовой категории C. По определению предотношение эквивалентности это морфизм ${\displaystyle R\to X\times X}$ в C так что для каждой схемы Т в C, функция ${\displaystyle f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)}$ имеет образ, который является отношение эквивалентности. Префикс «пре-» - это потому, что мы не требуем ${\displaystyle f(T)}$ быть инъективная функция.

Пример: Пусть алгебраическая группа грамм действовать по схеме Икс конечного типа над полем k. Брать ${\displaystyle R=X\times _{k}G}$ а потом по любой схеме Т над k позволять

${\displaystyle f(T):R(T)\to X(T)\times X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).}$

К Лемма Йонеды, это определяет морфизм ж, которое, очевидно, является пред отношением эквивалентности.

К каждому данному предотношению эквивалентности ${\displaystyle f:R\to X\times X}$ (+ еще несколько данных), есть связанный prestack F определяется следующим образом.^[8] Во-первых, F это категория, где: с обозначениями ${\displaystyle s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f}$,

1. объект - это пара ${\displaystyle (T,x)}$ состоящий из схемы Т и морфизм Икс: Т → Икс в C
2. морфизм ${\displaystyle (T,x)\to (S,y)}$ состоит из ${\displaystyle T\to S}$ и ${\displaystyle \delta :T\to R}$ такой, что ${\displaystyle s\circ \delta =x}$ и ${\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}:T\to S{\overset {y}{\to }}X}$
3. состав ${\displaystyle (,\delta ):(T,x)\to (S,y)}$ с последующим ${\displaystyle (,\delta '):(S,y)\to (U,z)}$ состоит из ${\displaystyle T\to S\to U}$ и ${\displaystyle \delta '':T\to R}$ получается следующим образом: поскольку ${\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}=s\circ \delta '|_{T}}$, по универсальному свойству существует индуцированное отображение

   ${\displaystyle (\delta ,\delta '|_{T}):T\to R\times _{t,s}R}$.

   Тогда пусть ${\displaystyle \delta ''}$ быть ${\displaystyle T\to R\times _{t,s}R}$ с последующим умножением
4. морфизм идентичности для объекта ${\displaystyle (T,x)}$ состоит из карты идентичности Т → Т и δ то есть ${\displaystyle x:T\to X}$ с последующим ${\displaystyle e:X\to R}$; последний получается факторизацией диагонального морфизма через ж, возможно по рефлексивности.

Через забывчивый функтор категория F расслоен в группоидах. Наконец, мы проверяем F это предварительный стек;^[9] для этого обратите внимание: для объектов Икс, у в F(U) и объект ${\displaystyle f:V\to U}$ в ${\displaystyle C_{/U}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]\\&=[\{\delta :V\to R|s\circ \delta =f^{*}x,t\circ \delta =f^{*}y\}]\\&=[\{\delta :V\to R|(s,t)\circ \delta =(x,y)\circ f\}].\end{aligned}}}$

Теперь это означает, что ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ это волокнистый продукт ${\displaystyle (s,t):R\to X\times X}$ и ${\displaystyle (x,y):U\to X\times X}$. Поскольку волокнистое изделие пучков представляет собой пучок, отсюда следует, что ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ это связка.

Предварительная сумма F выше можно записать как ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$ и его стекификация записывается как ${\displaystyle [X/\sim _{R}]}$.

Обратите внимание, когда Икс рассматривается как стек, оба Икс и ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$ одинаковый набор объектов. На уровне морфизма, а Икс имеет только тождественные морфизмы в качестве морфизмов, предварительная сумма ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$ иметь дополнительные морфизмы ${\displaystyle \delta }$ заданное предварительным отношением эквивалентности ж.

Важность этой конструкции состоит в том, что она дает атлас алгебраического пространства: каждое алгебраическое пространство имеет форму ${\displaystyle [U/\sim _{R}]}$ для некоторых схем U, р и предварительное отношение этальной эквивалентности ${\displaystyle f:R\to U\times U}$ так что для каждого Т, ${\displaystyle f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)}$ является инъективной функцией («эталь» означает два возможных отображения ${\displaystyle s,t:R\to U\times U\to U}$ эталь.)

Начиная с Стек Делин-Мамфорд ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$, можно найти предварительное отношение эквивалентности ${\displaystyle f:R\to U\times U}$ для некоторых схем р, U так что ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ это стефикация связанного с ним предварительного суммирования: ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\simeq [U/\sim _{R}]}$.^[10] Это делается следующим образом. По определению существует этальный сюръективный морфизм ${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$ по какой-то схеме U. Поскольку диагональ сильно представима, расслоенное произведение ${\displaystyle U\times _{\mathfrak {X}}U=R}$ является схемой (то есть представленной схемой), и тогда пусть

${\displaystyle s,t:R\rightrightarrows U}$

быть первой и второй проекциями. Принимая ${\displaystyle f=(s,t):R\to U\times U}$, мы видим ${\displaystyle f}$ является предварительным отношением эквивалентности. Мы заканчиваем, примерно, следующим образом.

1. Продлевать ${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$ к ${\displaystyle \pi :[U/\sim _{R}]^{pre}\to {\mathfrak {X}}}$ (ничего не меняется на уровне объекта; нам нужно только объяснить, как отправлять ${\displaystyle \delta }$.)
2. По универсальному свойству стекификации ${\displaystyle \pi }$ факторы через ${\displaystyle [U/\sim _{R}]\to {\mathfrak {X}}}$.
3. Убедитесь, что последняя карта является изоморфизмом.

Стеки, связанные с предварительными стеками

Есть способ связать стек с заданным предварительным стеком. Это похоже на связка предпучка и называется укладка. Идея построения довольно проста: с учетом предварительного стека ${\displaystyle p:F\to C}$, мы позволяем HF быть категорией, в которой объект - это нисходящие данные, а морфизм - это нисходящие данные. (Подробности пока опущены)

Как оказалось, это стек с естественным морфизмом. ${\displaystyle \theta :F\to HF}$ такой, что F является стеком тогда и только тогда, когда θ является изоморфизмом.

В некоторых особых случаях укладка может быть описана в терминах торсоры для аффинных групповых схем или обобщений. Фактически, согласно этой точке зрения, стек в группоидах - это не что иное, как категория торсоров, а prestack - категория тривиальных торсоров, которые являются локальными моделями торсоров.

Примечания

1. Вистоли, § 3.7. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFVistoli (помощь)
2. Alg, Гл. 4., § 1. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAlg (помощь)
3. Вистоли, Определение 4.6. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFVistoli (помощь)
4. Вистоли, § 3.6.2. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFVistoli (помощь)
5. Вистоли, Определение 3.33. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFVistoli (помощь)
6. Alg, Определение 2.25. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAlg (помощь)
7. Alg, Пример 2.29. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAlg (помощь)
8. Alg, Определение 3.13. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAlg (помощь)
9. Аргументом здесь служит лемма 25.6. из Конспект лекций М. Ольссона на стопках.
10. Alg, Предложение 5.20. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAlg (помощь) и Alg, Теорема 4.35. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFAlg (помощь). От редакции: в справочнике используется язык группоидных схем, но группоидная схема, которую они используют, совпадает с используемым здесь предварительным отношением эквивалентности; сравните Предложение 3.6. и проверки ниже.

Рекомендации

• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дан; Фултон, Уильям; Фантечи, Барбара; Гётче, Лотар; Крещ, Эндрю (2006), Алгебраические стеки, заархивировано из оригинал на 2008-05-05, получено 2017-06-13
• Вистоли, Анджело (2005), "Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска", Фундаментальная алгебраическая геометрия, Математика. Обзоры Monogr., 123, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 1–104, arXiv:математика / 0412512, Bibcode:2004математика ..... 12512В, МИСТЕР  2223406

внешняя ссылка

• Дай Тамаки (7 августа 2019 г.). «Предварительные пакеты и волокнистые категории».