Квазикомпактный морфизм - Quasi-compact morphism

В алгебраическая геометрия, морфизм ${ displaystyle f: от X до Y}$ между схемами называется квазикомпактный если Y могут быть покрыты открытыми аффинными подсхемами ${ displaystyle V_ {i}}$ так что предварительные изображения ${ displaystyle f ^ {- 1} (V_ {i})}$ квазикомпактны (как топологическое пространство).^[1] Если ж квазикомпактен, то прообраз квазикомпактной открытой подсхемы (например, открытой аффинной подсхемы) при ж квазикомпактен.

Мало того, что Y допускает покрытие квазикомпактными открытыми подсхемами, прообразы которых квазикомпактны. Чтобы привести пример,^[2] позволять А - кольцо, не удовлетворяющее условиям возрастающей цепи на радикальных идеалах, и положим ${ displaystyle X = operatorname {Spec} A}$ . Икс содержит открытое подмножество U это не квазикомпактный. Позволять Y - схема, полученная склейкой двух ИКС'вместе U. Икс, Y оба квазикомпактны. Если ${ displaystyle f: от X до Y}$ включение одной из копий Икс, затем прообраз другого Икс, открыть аффинный в Y, является U, а не квазикомпактный. Следовательно, ж не является квазикомпактным.

Морфизм квазикомпактной схемы в аффинную схему квазикомпактен.

Позволять ${ displaystyle f: от X до Y}$ - квазикомпактный морфизм схем. потом ${ displaystyle f (X)}$ закрыто тогда и только тогда, когда оно устойчиво по специализации.

Композиция квазикомпактных морфизмов квазикомпактна. Замена базы квазикомпактного морфизма квазикомпактна.

Аффинная схема квазикомпактна. Фактически, схема квазикомпактна тогда и только тогда, когда она является конечным объединением открытых аффинных подсхем. Критерий Серра дает необходимое и достаточное условие аффинности квазикомпактной схемы.

Квазикомпактная схема имеет хотя бы одну замкнутую точку.^[3]