Теорема Зейферта – ван Кампена - Seifert–van Kampen theorem

В математика, то Теорема Зейферта – ван Кампена из алгебраическая топология (названный в честь Герберт Зайферт и Эгберт ван Кампен ), иногда просто называют теорема ван Кампена, выражает структуру фундаментальная группа из топологическое пространство ${\displaystyle X}$ в терминах фундаментальных групп двух открытых, соединенный путём подпространства, покрывающие ${\displaystyle X}$. Поэтому его можно использовать для вычислений фундаментальной группы пространств, построенных из более простых.

Теорема Ван Кампена для фундаментальных групп^[1]

Позволять Икс - топологическое пространство, представляющее собой объединение двух открытых и линейно связанных подпространств U₁, U₂. Предположим U₁ ∩ U₂ путь связный и непустой, и пусть Икс₀ быть точкой в U₁ ∩ U₂ который будет использоваться в качестве основы для всех фундаментальных групп. Карты включения U₁ и U₂ в Икс побудить групповые гомоморфизмы ${\displaystyle j_{1}:\pi _{1}(U_{1},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$ и ${\displaystyle j_{2}:\pi _{1}(U_{2},x_{0})\to \pi _{1}(X,x_{0})}$. потом Икс связан ли путь и ${\displaystyle j_{1}}$ и ${\displaystyle j_{2}}$ образуют коммутатив выталкивание диаграмма:

естественный морфизм k является изоморфизмом, то есть фундаментальной группой Икс это бесплатный продукт фундаментальных групп U₁ и U₂ с объединением ${\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})}$.^[2]

Обычно морфизмы, индуцированные включением в эту теорему, сами по себе не инъективны, и более точная версия утверждения выражается в терминах выталкивания групп.

Теорема ван Кампена для фундаментальных группоидов

К сожалению, приведенная выше теорема не вычисляет фундаментальную группу окружности, которая является наиболее важным базовым примером в алгебраической топологии. Причина в том, что круг не может быть реализован как объединение двух открытых множеств со связным пересечением. Эту проблему можно решить, работая с фундаментальный группоид ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ на установить A базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации. Таким образом, для круга используются две базовые точки.^[3]

Эта группоид состоит из гомотопических классов относительно конечных точек путей в Икс точки соединения А ∩ Икс. В частности, если Икс стягиваемое пространство, и А состоит из двух различных точек Икс, тогда ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ легко увидеть, что он изоморфен группоиду, который часто пишут ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ с двумя вершинами и ровно одним морфизмом между любыми двумя вершинами. Этот группоид играет роль в теории группоидов, аналогичную роли группы целых чисел в теории групп.^[4] Группоид ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ также позволяет группоидам понятие гомотопии: это объект единичного интервала в категории группоидов.

Связное объединение двух несвязных пространств с множеством базовых точек

Категория группоидов допускает все копределы и, в частности, все выталкивания.

Теорема. Пусть топологическое пространство Икс покрыты внутренностями двух подпространств Икс₁, Икс₂ и разреши А быть набором, который встречает каждый компонент пути Икс₁, Икс₂ и Икс₀ = Икс₁ ∩ Икс₂. потом А встречает каждый компонент пути Икс и диаграмма п морфизмов, индуцированных включением

представляет собой выталкивающую диаграмму в категории группоидов.^[5]

Эта теорема дает переход от топологии к алгебре, полностью определяя фундаментальный группоид ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$; затем нужно использовать алгебру и комбинаторику, чтобы определить фундаментальную группу в некоторой базовой точке.

Одна из интерпретаций теоремы состоит в том, что она вычисляет гомотопические 1-типы. Чтобы убедиться в его полезности, можно легко найти случаи, когда Икс является связным, но представляет собой объединение внутренних частей двух подпространств, каждое из которых содержит, скажем, 402 компонента пути и пересечение которых имеет, скажем, 1004 компонента пути. Интерпретация этой теоремы как вычислительного инструмента для «фундаментальных групп» требует некоторого развития «комбинаторной теории группоидов».^[6][7] Из этой теоремы следует вычисление фундаментальной группы круга как группы целых чисел, поскольку группа целых чисел получается из группоида ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ идентифицируя в категории группоидов две его вершины.

Существует версия последней теоремы, когда Икс покрыт союзом интерьеров семьи ${\displaystyle \{U_{\lambda }:\lambda \in \Lambda \}}$ подмножеств.^[8][9]

Напрашивается вывод, что если А встречает каждую компоненту пути всех 1,2,3-кратных пересечений множеств ${\displaystyle U_{\lambda }}$, тогда А отвечает всем компонентам пути Икс и диаграмма

${\displaystyle \bigsqcup _{(\lambda ,\mu )\in \Lambda ^{2}}\pi _{1}(U_{\lambda }\cap U_{\mu },A)\rightrightarrows \bigsqcup _{\lambda \in \Lambda }\pi _{1}(U_{\lambda },A)\rightarrow \pi _{1}(X,A)}$

морфизмов, индуцированных включениями, есть уравнитель в категории группоидов.

[...] люди по-прежнему упорно сохраняются, при расчете с основными группами, при установлении единой базовой точки, вместо того, чтобы умело выбирая весь пакет точек, инвариантного относительно симметрий ситуации, которая, таким образом, заблудиться на пути. В определенных ситуациях (например, теоремы спуска для фундаментальных групп а ля ван Кампен) гораздо элегантнее, даже незаменим для понимания чего-либо, работать с фундаментальными группоидами относительно подходящего пакета базовых точек [...]

— Александр Гротендик, Программа Esquisse d'un (Раздел 2, английский перевод )

Эквивалентные составы

На языке комбинаторная теория групп, если ${\displaystyle X}$ - топологическое пространство; ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ - открытые линейно связные подпространства в ${\displaystyle X}$; ${\displaystyle U\cap V}$ непусто и линейно связно; и ${\displaystyle w\in U\cap V}$; тогда ${\displaystyle \pi _{1}(X,w)}$ это бесплатный продукт с амальгамированием из ${\displaystyle \pi _{1}(U,w)}$ и ${\displaystyle \pi _{1}(V,w)}$, относительно (не обязательно инъективных) гомоморфизмов ${\displaystyle I:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(U,w)}$ и ${\displaystyle J:\pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w)}$. Данный групповые презентации:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(U,w)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,w)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\rangle \\\pi _{1}(U\cap V,w)&=\langle w_{1},\cdots ,w_{p}\mid \gamma _{1},\cdots ,\gamma _{q}\rangle \end{aligned}}}$

объединение может быть представлено^[10] так как

${\displaystyle \pi _{1}(X,w)=\left\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .}$

В теория категорий, ${\displaystyle \pi _{1}(X,w)}$ это выталкивание в категории групп диаграммы:

${\displaystyle \pi _{1}(U,w)\gets \pi _{1}(U\cap V,w)\to \pi _{1}(V,w).}$

Примеры

2-сфера

Можно использовать теорему Ван Кампена для вычисления фундаментальных групп топологических пространств, которые можно разложить на более простые пространства. Например, рассмотрим сферу ${\displaystyle S^{2}}$. Выберите открытые наборы ${\displaystyle A=S^{2}\setminus \{n\}}$ и ${\displaystyle B=S^{2}\setminus \{s\}}$ где п и s обозначают северный и южный полюса соответственно. Тогда у нас есть свойство, что А, B и А ∩ B являются связными множествами с открытым путем. Таким образом, мы видим, что существует коммутативная диаграмма, включающая А ∩ B в А и B а затем еще одно включение из А и B в ${\displaystyle S^{2}}$ и что существует соответствующая диаграмма гомоморфизмов между фундаментальными группами каждого подпространства. Применение теоремы Ван Кампена дает результат

${\displaystyle \pi _{1}(S^{2})=\pi _{1}(A)\cdot \pi _{1}(B)/\ker(\Phi ).}$

Однако А и B оба гомеоморфны р² который является односвязным, поэтому оба А и B имеют тривиальные фундаментальные группы. Отсюда ясно, что основная группа ${\displaystyle S^{2}}$ тривиально.

Сумма пробелов клина

Учитывая два заостренные места ${\displaystyle (X,x)}$ и ${\displaystyle (Y,y)}$ мы можем сформировать их сумма клина, ${\displaystyle (X\vee Y,p)}$, взяв частное ${\displaystyle X\coprod Y}$ путем определения двух своих базовых точек.

Если ${\displaystyle x}$ допускает стягиваемую открытую окрестность ${\displaystyle U\subset X}$ и ${\displaystyle y}$ допускает стягиваемую открытую окрестность ${\displaystyle V\subset Y}$ (что имеет место, например, если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ находятся Комплексы CW ), то мы можем применить теорему ван Кампена к ${\displaystyle X\vee Y}$ принимая ${\displaystyle X\vee V}$ и ${\displaystyle U\vee Y}$ как два открытых множества, и мы заключаем, что фундаментальной группой клина является бесплатный продукт фундаментальных групп двух пространств, с которых мы начали:

${\displaystyle \pi _{1}(X\vee Y,p)\cong \pi _{1}(X,x)*\pi _{1}(Y,y)}$.

Ориентируемые поверхности рода g

Более сложный пример - вычисление фундаментальной группы род п ориентируемая поверхность S, иначе известный как род n поверхностная группа. Можно построить S используя его стандартный фундаментальный многоугольник. Для первого открытого набора А, выберите диск в центре многоугольника. Выбирать B быть дополнением в S центральной точки А. Тогда пересечение А и B кольцо, которое, как известно, гомотопический эквивалент к кругу (и поэтому имеет ту же фундаментальную группу, что и). потом ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)=\pi _{1}(S^{1})}$, который является целым числом, и ${\displaystyle \pi _{1}(A)=\pi _{1}(D^{2})={1}}$. Таким образом, включение ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$ в ${\displaystyle \pi _{1}(A)}$ отправляет любой генератор в тривиальный элемент. Однако включение ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$ в ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ нетривиально. Чтобы понять это, сначала нужно вычислить ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$. Это легко сделать, как можно деформационный отвод B (который S с удалением одной точки) на ребра, помеченные

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}.}$

Это пространство известно как сумма клина из 2п круги (также называемые букет кругов ), фундаментальная группа которого, как известно, изоморфна группе свободная группа с 2п генераторы, которые в данном случае могут быть представлены самими ребрами: ${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\}}$. Теперь у нас достаточно информации, чтобы применить теорему Ван Кампена. Генераторы - это петли ${\displaystyle \{A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\}}$ (А односвязен, поэтому он не вносит никаких генераторов) и существует ровно одно отношение:

${\displaystyle A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.}$

Используя образующие и соотношения, эта группа обозначается

${\displaystyle \left\langle A_{1},B_{1},\cdots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .}$

Простая связность

Если Икс это пространство, которое можно записать как объединение двух открытых односвязный наборы U и V с участием U ∩ V непустой и соединенный путём, тогда Икс просто связано.^[11]

Обобщения

Как объяснялось выше, эта теорема была расширена Рональд Браун в несвязный случай с помощью фундаментального группоида ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ на съемочной площадке А базовых точек. Теорема для произвольных покрытий с ограничением А удовлетворяет всем тройным пересечениям множеств покрытия, это дано в статье Брауна и Абдула Разака Саллеха.^[12] Теорема и доказательство для фундаментальной группы, но с использованием некоторых методов группоидов, также приведены в Дж. Питер Мэй книга.^[13] Версия, допускающая более двух перекрывающихся наборов, но с А синглтон также дается в Аллен Хэтчер книга ниже, теорема 1.20.

Приложения фундаментального группоида на множестве базовых точек к Теорема Жордана, покрытия пространства, и орбитальные пространства приведены в книге Рональда Брауна.^[14] В случае пространств орбит удобно взять А чтобы включить все фиксированные точки действия. Примером может служить действие сопряжения на круге.

Ссылки на многомерные версии теоремы, дающие некоторую информацию о гомотопических типах, приведены в статье о многомерных теориях групп и группоидах.^[15] Таким образом, двумерная теорема ван Кампена, которая вычисляет неабелевы вторые относительные гомотопические группы, была дана Рональдом Брауном и Филипом Дж. Хиггинсом.^[16] Полный отчет и расширение всех измерений даны Брауном, Хиггинсом и Рафаэлем Сиверой,^[17] в то время как расширение п-кубов пространств дан Рональдом Брауном и Жан-Луи Лоде.^[18]

Фундаментальные группы также появляются в алгебраическая геометрия и являются основной темой Александр Гротендик первый Séminaire de géométrie algébrique (SGA1). Там появляется версия теоремы ван Кампена, которая доказывается совершенно иным путем, чем в алгебраической топологии, а именно теорией спуска. Аналогичное доказательство работает в алгебраической топологии.^[19]

Смотрите также

• Многомерная алгебра
• Теория высших категорий
• Псевдокружность
• Рональд Браун (математик)

Заметки

1. Р. Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 17 (1967) 385–401. http://planetmath.org/?method=src&from=objects&name=VanKampensTheorem&op=getobj
2. 1950-, Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-1441979391. OCLC  697506452. стр. 252, теорема 10.1.
3. http://planetmath.org/vankampenstheorem Р. Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 17 (1967) 385–401.
4. Рональд Браун. «Группоиды в математике». http://groupoids.org.uk/gpdsweb.html
5. Р. Браун. Топология и группоиды., Booksurge PLC (2006). http://groupoids.org.uk/topgpds.html
6. http://planetmath.org/?method=src&from=objects&name=VanKampensTheorem&op=getobj П.Дж. Хиггинс, Категории и группоиды, ван Ностранд, 1971, Перепечатки теории и приложений категорий, № 7 (2005), стр. 1–195.
7. Р. Браун, Топология и группоиды., Booksurge PLC (2006).
8. Рональд Браун, Филип Дж. Хиггинс и Рафаэль Сивера. Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды, Европейское математическое общество Tracts vol 15, август 2011 г.
9. Многомерные обобщенные теоремы Ван Кампена (HD-GVKT) http://planetphysics.org/encyclopedia/HDGvKTVanKampenTheorems.html
10. 1950-, Ли, Джон М. (2011). Введение в топологические многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-1441979391. OCLC  697506452. стр. 253, теорема 10.3.
11. Гринберг и Харпер, 1981
12. Браун, Рональд и Разак Саллех, Абдул, "Теорема ван Кампена для объединения несвязных пространств". Archiv der Mathematik (Базель) 42 (1984), вып. 1, 85–88.
13. Мэй, Дж. Питер, "Краткое введение в алгебраическую топологию", глава 2, (1999)
14. Браун, Рональд, «Топология и группоиды», Booksurge, (2006)
15. Рональд Браун. «Теория многомерных групп». 2007 г. http://www.bangor.ac.uk/~mas010/hdaweb2.htm
16. Браун, Рональд и Хиггинс, Филип Дж. «О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств., Труды Лондонского математического общества (3) 36 (1978), 193-212.
17. Браун, Рональд, Хиггинс, Филип Дж. И Сивера, Рафаэль, "Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды", EMS Tracts in Mathematics vol 15, 20011. http://groupoids.org.uk/nonab-a-t.html
18. Браун, Рональд и Лодей, Жан-Луи, "Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств"., Топология 26 (1987), 311–334.
19. Дуади, Адриан и Дуади, Режин, "Algèbre et théories galoisiennes", Кассини (2005)

использованная литература

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. (2002) Cambridge University Press, Кембридж, xii + 544 стр. ISBN  0-521-79160-X и ISBN  0-521-79540-0
• Питер Мэй, Краткий курс алгебраической топологии. (1999) Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-51183-9 (В разделе 2.7 дается теоретико-категориальное представление теоремы как копредел в категории группоидов).
• Рональд Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 17 (1967) 385-401.
• Обсуждение Mathoverflow по многим базовым моментам
• Рональд Браун, Топология и группоиды (2006) ООО «Буксург» ISBN  1-4196-2722-8
• Р. Браун и А. Разак, Теорема Ван Кампена для объединения несвязных пространств, Архив. Математика. 42 (1984) 85-88. (В этой статье дается, вероятно, оптимальная версия теоремы, а именно группоидная версия теоремы для произвольного открытого покрытия и набора базовых точек, которые пересекают каждую компоненту пути каждого 1-2-3-кратного пересечения множеств крышка.)
• П.Дж. Хиггинс, Категории и группоиды (1971) Ван Ностранд Рейнхольд
• Рональд Браун, Теория многомерных групп (2007) (Дает общее представление о многомерных теоремах Ван Кампена, включающих несколько группоидов).
• Гринберг, Марвин Дж .; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология. Первый курс, Серия лекций по математике, 58, Бенджамин / Каммингс, ISBN  0805335579
• Зейферт, Х., Konstruction drei Dimensaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Акад. Лейпциг, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• Э. Р. ван Кампен. О связи между фундаментальными группами некоторых родственных пространств. Американский журнал математики, вып. 55 (1933), стр. 261–267.
• Браун Р., Хиггинс П. Дж., О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств, Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 36 (1978) 193–212.
• Браун, Р., Хиггинс, П. Дж., Сивера, Р., 2011 г., EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды; (В первой из трех частей обсуждаются приложения 1- и 2-мерной версии теоремы Зейферта – ван Кампена. Последняя позволяет вычислять неабелевы вторые относительные гомотопические группы и, фактически, гомотопические 2-типы. Вторая часть применяется теорема Ван Кампена о высшей гомотопии для скрещенных комплексов, доказанная в части III.)
• "Результат теоремы Ван Кампена". PlanetMath.
• Р. Браун, Х. Кампс, Т. Портер: Гомотопический двойной группоид хаусдорфового пространства II: теорема Ван Кампена », Теория и приложения категорий, 14 (2005) 200–220.
• Дилан Г.Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема ван Кампена (Обсуждает обобщенные версии теоремы ван Кампена применительно к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
• Р. Браун и Ж.-Л. Лодей, `` Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств, Топология 26 (1987) 311–334.

В этой статье использованы материалы из Теорема Ван Кампена на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.