Специальные классы полугрупп - Special classes of semigroups

В математика, а полугруппа это непустой набор вместе с ассоциативный бинарная операция. А специальный класс полугрупп это класс из полугруппы удовлетворение дополнительных свойства или условия. Таким образом, класс коммутативный полугруппы состоят из всех тех полугрупп, в которых бинарная операция удовлетворяет свойству коммутативности, что ab = ба для всех элементов а и б в полугруппе. конечный полугруппы состоят из тех полугрупп, для которых базовый набор имеет конечный мощность. Члены класса Полугруппы Брандта требуются для выполнения не одного условия, а набора дополнительных свойств. Определен большой набор специальных классов полугрупп, но не все они изучены одинаково интенсивно.

в алгебраический теория полугрупп, при построении специальных классов внимание сосредоточено только на тех свойствах, ограничениях и условиях, которые могут быть выражены в терминах бинарных операций в полугруппах, а иногда и на мощности и подобных свойствах полугрупп. подмножества из базовый набор. Лежащий в основе наборы предполагается, что не содержат никаких других математических структуры любить порядок или топология.

Как и в любой алгебраической теории, одной из основных проблем теории полугрупп является классификация всех полугрупп и полное описание их строения. В случае полугрупп, поскольку бинарная операция требуется для удовлетворения только свойства ассоциативности, проблема классификации считается чрезвычайно сложной. Получены описания структур некоторых специальных классов полугрупп. Например, полностью известна структура множеств идемпотентов регулярных полугрупп. Описание структуры представлено в терминах наиболее известных типов полугрупп. Самый известный тип полугруппы - это группа.

Ниже приводится (обязательно неполный) список различных специальных классов полугрупп. По возможности определяющие свойства формулируются в терминах бинарных операций в полугруппах. Ссылки указывают на места, откуда берутся определяющие свойства.

Обозначения

При описании определяющих свойств различных специальных классов полугрупп приняты следующие условные обозначения.

Обозначения

Обозначение	Смысл
S	Произвольная полугруппа
E	Набор идемпотентов в S
г	Группа единиц в S
я	Минимальный идеал S
V	Обычный элементы S
Икс	Произвольный набор
а, б, c	Произвольные элементы S
Икс, у, z	Конкретные элементы S
е, ж, г	Произвольные элементы E
час	Конкретный элемент E
л, м, п	Произвольные положительные целые числа
j, k	Конкретные положительные целые числа
v, ш	Произвольные элементы V
0	Нулевой элемент S
1	Элемент идентичности S
S^1	S если 1 ∈ S; S ∪ {1}, если 1 ∉ S
а ≤L б а ≤р б а ≤ЧАС б а ≤J б	S^1а ⊆ S^1б так как^1 ⊆ bS^1 S^1а ⊆ S^1б и так как^1 ⊆ bS^1 S^1так как^1 ⊆ S^1bS^1
L, р, ЧАС, D, J	Отношения Грина
Lа, ра, ЧАСа, Dа, Jа	Зеленые классы, содержащие а
${\displaystyle x^{\omega }}$	Единственная сила Икс который является идемпотентным. Этот элемент существует, если полугруппа (локально) конечна. Увидеть многообразие конечных полугрупп для получения дополнительной информации об этом обозначении.
${\displaystyle |X|}$	Мощность Икс, предполагая Икс конечно.

Например, определение xab = xba следует читать как:

• Существует Икс такой элемент полугруппы, что для каждого а и б в полугруппе, xab и xba равны.

Список специальных классов полугрупп

В третьем столбце указано, образует ли этот набор полугрупп разнообразие. И образует ли множество конечных полугрупп этого специального класса многообразие конечных полугрупп. Обратите внимание, что если это множество является разнообразием, то его набор конечных элементов автоматически является множеством конечных полугрупп.

Список специальных классов полугрупп

Терминология	Определение собственности	Многообразие конечных полугрупп	Использованная литература)
Конечный полугруппа	S это конечный набор.	Не бесконечно Конечный
Пустая полугруппа	S = ${\displaystyle \emptyset }$	Нет
Тривиальная полугруппа	Мощность S равно 1.	Бесконечный Конечный
Моноид	1 ∈ S	Нет	Грил п. 3
Группа (Идемпотентная полугруппа)	а^2 = а	Бесконечный Конечный	C&P п. 4
Прямоугольная полоса	Группа такая, что abca = акба	Бесконечный Конечный	Феннемор
Полурешетка	Коммутативный диапазон, то есть: а^2 = а ab = ба	Бесконечный Конечный	C&P п. 24 Феннемор
Коммутативный полугруппа	ab = ба	Бесконечный Конечный	C&P п. 3
Архимедов коммутативная полугруппа	ab = ба Существует Икс и k такой, что аk = xb.		C&P п. 131
Нигде коммутативная полугруппа	ab = ба   ⇒   а = б		C&P п. 26
Левый слабо коммутативный	Существуют Икс и k такой, что (ab)k = bx.		Надь п. 59
Право слабо коммутативное	Существуют Икс и k такой, что (ab)k = ха.		Надь п. 59
Слабо коммутативный	Левая и правая слабо коммутативные. Это: Существуют Икс и j такой, что (ab)j = bx. Существуют у и k такой, что (ab)k = я.		Надь п. 59
Условно коммутативная полугруппа	Если ab = ба тогда Axb = bxa для всех Икс.		Надь п. 77
р-коммутативная полугруппа	ab р ба		Надь п. 69–71
RC-коммутативная полугруппа	р-коммутативны и условно коммутативны		Надь п. 93–107
L-коммутативная полугруппа	ab L ба		Надь п. 69–71
LC-коммутативная полугруппа	L-коммутативны и условно коммутативны		Надь п. 93–107
ЧАС-коммутативная полугруппа	ab ЧАС ба		Надь п. 69–71
Квазикоммутативная полугруппа	ab = (ба)k для некоторых k.		Надь п. 109
Правая коммутативная полугруппа	xab = xba		Надь п. 137
Левая коммутативная полугруппа	abx = бакс		Надь п. 137
Внешне коммутативная полугруппа	Axb = bxa		Надь п. 175
Медиальная полугруппа	xaby = xbay		Надь п. 119
E-k полугруппа (k исправлено)	(ab)k = аkбk	Бесконечный Конечный	Надь п. 183
Экспоненциальный полугруппа	(ab)м = амбм для всех м	Бесконечный Конечный	Надь п. 183
МЫ-k полугруппа (k исправлено)	Есть положительное целое число j в зависимости от пары (a, b), такой что (ab)k+j = аkбk (ab)j = (ab)jаkбk		Надь п. 199
Слабо экспоненциальный полугруппа	МЫ-м для всех м		Надь п. 215
Правая отменяющая полугруппа	ba = ca   ⇒   б = с		C&P п. 3
Левая полугруппа сокращения	ab = ac   ⇒   б = с		C&P п. 3
Отменительная полугруппа	Левая и правая полугруппа сокращения, т. Е. ab = ac   ⇒   б = с ba = ca   ⇒   б = с		C&P п. 3
'' E '' - инверсивная полугруппа (E-плотная полугруппа)	Существует Икс такой, что топор ∈ E.		C&P п. 98
Регулярная полугруппа	Существует Икс такой, что акса =а.		C&P п. 26
Обычная группа	Группа такая, что абака = 'abca	Бесконечный Конечный	Феннемор
Внутрирегулярная полугруппа	Существуют Икс и у такой, что ха^2у = а.		C&P п. 121
Левая регулярная полугруппа	Существует Икс такой, что ха^2 = а.		C&P п. 121
Левая регулярная полоса	Группа такая, что аба = 'ab	Бесконечный Конечный	Феннемор
Правильная регулярная полугруппа	Существует Икс такой, что а^2Икс = а.		C&P п. 121
Право-регулярная полоса	Группа такая, что аба = 'ba	Бесконечный Конечный	Феннемор
Полностью регулярная полугруппа	ЧАСа это группа.		Грил п. 75
(обратный) Полугруппа Клиффорда	Регулярная полугруппа, в которой все идемпотенты центральны. Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle a^{\omega }b=ba^{\omega }}$	Конечный	Петрич п. 65
k-регулярная полугруппа (k исправлено)	Существует Икс такой, что аkхаk = аk.		Хари
В конце концов регулярная полугруппа (π-регулярная полугруппа, Квазирегулярная полугруппа)	Существует k и Икс (в зависимости от а) такие, что аkхаk = аk.		Эдва Шум Хигг п. 49
Квазипериодическая полугруппа, эпигруппа, полугруппа с групповой границей, вполне (или сильно) π-регулярная полугруппа и многие другие; увидеть Kela для списка)	Существует k (в зависимости от а) такие, что аk принадлежит подгруппа из S		Kela Грил п. 110 Хигг п. 4
Примитивная полугруппа	Если 0 ≠ е и ж = ef = fe тогда е = ж.		C&P п. 26
Единичная регулярная полугруппа	Существует ты в г такой, что ауа = а.		Твм
Сильно единичная регулярная полугруппа	Существует ты в г такой, что ауа = а. e D f ⇒ ж = v^−1ev для некоторых v в г.		Твм
Православная полугруппа	Существует Икс такой, что акса = а. E является подполугруппой S.		Грил п. 57 Как я п. 226
Обратная полугруппа	Есть уникальные Икс такой, что акса = а и xax = Икс.		C&P п. 28
Левая инверсная полугруппа (р- всесильный)	ра содержит уникальный час.		Грил п. 382
Правая инверсная полугруппа (L- всесильный)	Lа содержит уникальный час.		Грил п. 382
Локально инверсная полугруппа (Псевдообратная полугруппа)	Существует Икс такой, что акса = а. E является псевдополурешеткой.		Грил п. 352
M-инверсивная полугруппа	Существуют Икс и у такой, что baxc = до н.э и Byac = до н.э.		C&P п. 98
Псевдообратная полугруппа (Локально инверсная полугруппа)	Существует Икс такой, что акса = а. E является псевдополурешеткой.		Грил п. 352
Обильная полугруппа	Классы L*а и р*а, где а L* б если ac = объявление ⇔ до н.э = bd и а р* б если ок = да ⇔ cb = db, содержат идемпотенты.		Чен
Rpp-полугруппа (Правая главная проективная полугруппа)	Класс L*а, где а L* б если ac = объявление ⇔ до н.э = bd, содержит хотя бы один идемпотент.		Шум
Lpp-полугруппа (Левая главная проективная полугруппа)	Класс р*а, где а р* б если ок = да ⇔ cb = db, содержит хотя бы один идемпотент.		Шум
Нулевая полугруппа (Нулевая полугруппа )	0 ∈ S ab = 0 Эквивалентно ab = компакт диск	Бесконечный Конечный	C&P п. 4
Левая полугруппа нулей	ab = а	Бесконечный Конечный	C&P п. 4
Левая нулевая полоса	Полугруппа левых нулей, которая является лентой. Это: ab = а аа = а	Бесконечный Конечный	Феннемор
Покинул группу	Полугруппа, простая слева и сокращающая справа. Прямое произведение полугруппы левых нулей и абелевой группы.		C&P п. 37, 38
Полугруппа правых нулей	ab = б	Бесконечный Конечный	C&P п. 4
Правая нулевая полоса	Полугруппа правых нулей, которая является лентой. Это: ab = б аа = а	Бесконечный Конечный	Феннемор
Правая группа	Полугруппа, простая справа и сокращающая слева. Прямое произведение полугруппы правых нулей и группы.		C&P п. 37, 38
Правая абелева группа	Простая справа и условно коммутативная полугруппа. Прямое произведение полугруппы правых нулей и абелевой группы.		Надь п. 87
Унипотентная полугруппа	E одноэлементный.	Бесконечный Конечный	C&P п. 21 год
Левая редуктивная полугруппа	Если ха = xb для всех Икс тогда а = б.		C&P п. 9
Право редуктивная полугруппа	Если топор = bx для всех Икс тогда а = б.		C&P п. 4
Редуктивная полугруппа	Если ха = xb для всех Икс тогда а = б. Если топор = bx для всех Икс тогда а = б.		C&P п. 4
Разделительная полугруппа	ab = а^2 = б^2   ⇒   а = б		C&P п. 130–131
Обратимая полугруппа	Сб ∩ Sb ≠ Ø так как ∩ bS ≠ Ø		C&P п. 34
Правая обратимая полугруппа	Сб ∩ Sb ≠ Ø		C&P п. 34
Левая обратимая полугруппа	так как ∩ bS ≠ Ø		C&P п. 34
Апериодическая полугруппа	Существует k (в зависимости от а) такой, что^k = а^к + 1 Эквивалентно для конечной полугруппы: для каждой а, ${\displaystyle a^{\omega }a=a^{\omega }}$.		ККМ п. 29 Штырь п. 158
ω-полугруппа	E - счетная убывающая цепочка порядка а ≤ЧАС б		Грил п. 233–238
Левая полугруппа Клиффорда (LC-полугруппа)	так как ⊆ Сб		Шум
Правая полугруппа Клиффорда (RC-полугруппа)	Сб ⊆ так как		Шум
Ортогруппа	ЧАСа это группа. E является подполугруппой S		Шум
Полная коммутативная полугруппа	ab = ба аk находится в подгруппе S для некоторых k. Каждое непустое подмножество E имеет инфимум.		Грил п. 110
Nilsemigroup (Нильпотентная полугруппа)	0 ∈ S аk = 0 для некоторого целого числа k что зависит от а. Эквивалентно для конечной полугруппы: для каждого элемента Икс и у, ${\displaystyle yx^{\omega }=x^{\omega }=x^{\omega }y}$.	Конечный	Грил п. 99 Штырь п. 148
Элементарная полугруппа	ab = ба S имеет форму г ∪ N где г группа и 1 ∈ г N идеал, нильполугруппа и 0 ∈ N		Грил п. 111
E-унитарная полугруппа	Есть уникальные Икс такой, что акса = а и xax = Икс. еа = е   ⇒   а ∈ E		Грил п. 245
Конечно определенная полугруппа	S имеет презентация ( Икс; р ) в котором Икс и р конечны.		Грил п. 134
Фундаментальная полугруппа	Равенство на S единственное сравнение, содержащееся в ЧАС.		Грил п. 88
Идемпотентно порожденная полугруппа	S равна полугруппе, порожденной E.		Грил п. 328
Локально конечная полугруппа	Каждая конечно порожденная подполугруппа группы S конечно.	Не бесконечно Конечный	Грил п. 161
N-полугруппа	ab = ба Существует Икс и положительное целое число п такой, что а = xb^п. топор = ау   ⇒   х = у xa = ya   ⇒   х = у E = Ø		Грил п. 100
L-унипотентная полугруппа (Правая инверсная полугруппа)	Lа содержит уникальный е.		Грил п. 362
р-унипотентная полугруппа (Левая инверсная полугруппа)	ра содержит уникальный е.		Грил п. 362
Левая простая полугруппа	Lа = S		Грил п. 57
Правая простая полугруппа	ра = S		Грил п. 57
Субэлементарная полугруппа	ab = ба S = C ∪ N где C полугруппа с сокращением, N является нильполугруппой или одноэлементной полугруппой. N идеал S. Ноль из N 0 из S. Для Икс, у в S и c в C, сх = Сай подразумевает, что Икс = у.		Грил п. 134
Симметричная полугруппа (Полугруппа полного преобразования )	Набор всех отображений Икс в себя с композицией отображений в виде бинарной операции.		C&P п. 2
Слабо редуктивная полугруппа	Если xz = yz и zx = зы для всех z в S тогда Икс = у.		C&P п. 11
Правая однозначная полугруппа	Если Икс, у ≥р z тогда Икс ≥р у или у ≥р Икс.		Грил п. 170
Левая однозначная полугруппа	Если Икс, у ≥L z тогда Икс ≥L у или у ≥L Икс.		Грил п. 170
Однозначная полугруппа	Если Икс, у ≥р z тогда Икс ≥р у или у ≥р Икс. Если Икс, у ≥L z тогда Икс ≥L у или у ≥L Икс.		Грил п. 170
Осталось 0-однозначно	0∈ S 0 ≠ Икс ≤L у, z   ⇒   у ≤L z или z ≤L у		Грил п. 178
Право 0-однозначно	0∈ S 0 ≠ Икс ≤р у, z   ⇒   у ≤L z или z ≤р у		Грил п. 178
0-однозначная полугруппа	0∈ S 0 ≠ Икс ≤L у, z   ⇒   у ≤L z или z ≤L у 0 ≠ Икс ≤р у, z   ⇒   у ≤L z или z ≤р у		Грил п. 178
Левая полугруппа путча	а ∈ bS^1   ⇒   ап ∈ б^2S^1 для некоторых п.		Надь п. 35 год
Правая полугруппа путча	а ∈ S^1б   ⇒   ап ∈ S^1б^2 для некоторых п.		Надь п. 35 год
Полугруппа путча	а ∈ S^1б S^1   ⇒   ап ∈ S^1б^2S^1 для некоторого положительного целого числа п		Надь п. 35 год
Бипростая полугруппа (D-простая полугруппа)	Dа = S		C&P п. 49
0-биспростая полугруппа	0 ∈ S S - {0} - это D-класс S.		C&P п. 76
Совершенно простая полугруппа	Не существует А ⊆ S, А ≠ S такой, что SA ⊆ А и ТАК КАК ⊆ А. Существует час в E так что всякий раз, когда hf = ж и fh = ж у нас есть час = ж.		C&P п. 76
Совершенно 0-простая полугруппа	0 ∈ S S^2 ≠ 0 Если А ⊆ S таково, что ТАК КАК ⊆ А и SA ⊆ А тогда А = 0 или А = S. Существует ненулевой час в E так что всякий раз, когда hf = ж, fh = ж и ж ≠ 0 имеем час = ж.		C&P п. 76
D-простая полугруппа (Бипростая полугруппа)	Dа = S		C&P п. 49
Полупростая полугруппа	Позволять J(а) = S^1так как^1, я(а) = J(а) − Jа. Каждая полугруппа факторов Риса J(а)/я(а) является 0-простым или простым.		C&P п. 71–75
${\displaystyle \mathbf {CS} }$: Простая полугруппа	Jа = S. (Не существует А ⊆ S, А ≠ S такой, что SA ⊆ А и ТАК КАК ⊆ А.), эквивалентно, для конечной полугруппы: ${\displaystyle a^{\omega }a=a}$ и ${\displaystyle (aba)^{\omega }=a^{\omega }}$.	Конечный	C&P п. 5 Хигг п. 16 Штырь С. 151, 158
0-простая полугруппа	0 ∈ S S^2 ≠ 0 Если А ⊆ S таково, что ТАК КАК ⊆ А и SA ⊆ А тогда А = 0.		C&P п. 67
Левая 0-простая полугруппа	0 ∈ S S^2 ≠ 0 Если А ⊆ S таково, что SA ⊆ А тогда А = 0.		C&P п. 67
Правая 0-простая полугруппа	0 ∈ S S^2 ≠ 0 Если А ⊆ S таково, что ТАК КАК ⊆ А тогда А = 0.		C&P п. 67
Циклическая полугруппа (Моногенная полугруппа )	S = { ш, ш^2, ш^3, ... } для некоторых ш в S	Не бесконечно Не конечный	C&P п. 19
Периодическая полугруппа	{ а, а^2, а^3, ...} - конечное множество.	Не бесконечно Конечный	C&P п. 20
Бициклическая полугруппа	1 ∈ S S признает презентация ${\displaystyle \langle x,y\mid xy=1\rangle }$.		C&P п. 43–46
Полугруппа полного преобразования ТИкс (Симметричная полугруппа)	Набор из всех сопоставления из Икс в себя с состав сопоставлений так как бинарная операция.		C&P п. 2
Прямоугольная полоса	Группа такая, что аба = а Эквивалентно abc = ac	Бесконечный Конечный	Феннемор
Прямоугольная полугруппа	Когда три из топор, ай, bx, от равны, все четверо равны.		C&P п. 97
Симметричная обратная полугруппа яИкс	Полугруппа один к одному частичные преобразования из Икс.		C&P п. 29
Полугруппа Брандта	0 ∈ S ( ac = до н.э ≠ 0 или ок = cb ≠ 0 )   ⇒   а = б ( ab ≠ 0 и до н.э ≠ 0 )   ⇒   abc ≠ 0 Если а ≠ 0 существуют единственные Икс, у, z, так что ха = а, ай = а, за = у. ( е ≠ 0 и ж ≠ 0 )   ⇒   eSf ≠ 0.		C&P п. 101
Свободная полугруппа FИкс	Набор конечных последовательностей элементов Икс с операцией ( Икс1, ..., Иксм ) ( у1, ..., уп ) = ( Икс1, ..., Иксм, у1, ..., уп )		Грил п. 18
Rees матрица полугруппа	г^0 группа г с 0 примыкают. п : Λ × я → г^0 карта. Определите операцию в я × г^0 × Λ по ( я, г, λ) ( j, час, μ) = ( я, г P (λ, j ) час, μ). ( я, г^0, Λ) / ( я × {0} × Λ) - полугруппа матриц Риса M^0 ( г^0; I, Λ; п ).		C&P стр.88
Полугруппа линейные преобразования	Полугруппа линейные преобразования из векторное пространство V через поле F под состав функций.		C&P стр.57
Полугруппа бинарные отношения BИкс	Набор всего бинарные отношения на Икс под сочинение		C&P стр.13
Числовая полугруппа	0 ∈ S ⊆ N = {0,1,2, ...} под +. N - S конечно		Делг
Полугруппа с инволюцией (* -полугруппа)	Существует унарная операция а → а* в S такой, что а** = а и (ab)* = б*а*.		Как я
Полугруппа Бэра – Леви	Полугруппа взаимно однозначных преобразований ж из Икс такой, что Икс − ж ( Икс ) бесконечно.		C&P II Глава 8
U-полугруппа	Существует унарная операция а → а' в S такой, что ( а’)’ = а.		Как я стр.102
я-полугруппа	Существует унарная операция а → а' в S такой, что ( а’)’ = а и аа’а = а.		Как я стр.102
Полузона	Регулярная полугруппа, порожденная своими идемпотентами.		Как я стр.230
Группа	Существует час такое, что для всех ах = ха = а. Существует Икс (в зависимости от а) такие, что топор = ха = час.	Не бесконечно Конечный
Топологическая полугруппа	Полугруппа, которая также является топологическим пространством. Такой, что полугрупповое произведение непрерывно.	Непригодный	Штырь п. 130
Синтаксическая полугруппа	Наименьший конечный моноид, который может признать подмножество другой полугруппы.		Штырь п. 14
${\displaystyle \mathbf {R} }$: the р-тривиальные моноиды	р-тривиально. То есть каждый р-класс эквивалентности тривиален. Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle (ab)^{\omega }a=(ab)^{\omega }}$.	Конечный	Штырь п. 158
${\displaystyle \mathbf {L} }$: the L-тривиальные моноиды	L-тривиально. То есть каждый L-класс эквивалентности тривиален. Эквивалентно, для конечных моноидов, ${\displaystyle b(ab)^{\omega }=(ab)^{\omega }}$.	Конечный	Штырь п. 158
${\displaystyle \mathbf {J} }$: the J-тривиальные моноиды	Моноиды, которые J-тривиально. То есть каждый J-класс эквивалентности тривиален. Эквивалентно моноиды, которые L-тривиальный и р- мелочи.	Конечный	Штырь п. 158
${\displaystyle \mathbf {R_{1}} }$: идемпотент и р-тривиальные моноиды	р-тривиально. То есть каждый р-класс эквивалентности тривиален. Эквивалентно для конечных моноидов: аба = ab.	Конечный	Штырь п. 158
${\displaystyle \mathbf {L_{1}} }$: идемпотент и L-тривиальные моноиды	L-тривиально. То есть каждый L-класс эквивалентности тривиален. Эквивалентно для конечных моноидов: аба = ба.	Конечный	Штырь п. 158
${\displaystyle \mathbb {D} \mathbf {S} }$: Полугруппа, регулярная D полугруппа	Эквивалентно для конечных моноидов: ${\displaystyle (a^{\omega }a^{\omega }a^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }}$. Эквивалентно регулярные H-классы - это группы, Эквивалентно, v≤Jа подразумевает v R va и v L av Эквивалентно для каждого идемпотента е, набор а такой, что е≤Jа замкнуто относительно произведения (т.е.это множество является подполугруппой) Эквивалентно не существует идемпотента е и ж такой, что e J f но нет ef J e Эквивалентно моноид ${\displaystyle B_{2}^{1}}$ не разделяет ${\displaystyle S\times S}$	Конечный	Штырь стр.154, 155, 158
${\displaystyle \mathbb {D} \mathbf {A} }$: Полугруппа, регулярная D являются апериодической полугруппой	Каждый регулярный D-класс является апериодической полугруппой Эквивалентно, каждый обычный D-класс представляет собой прямоугольную ленту Эквивалентно, обычные D-классы являются полугрупповыми, и, более того, S апериодический Эквивалентно для конечного моноида: регулярные D-классы являются полугруппами, и, более того, ${\displaystyle aa^{\omega }=a^{\omega }}$ Эквивалентно, е≤Jа подразумевает eae = е Эквивалентно, е≤Jж подразумевает efe = е.	Конечный	Штырь п. 156, 158
${\displaystyle \ell \mathbf {1} }$/${\displaystyle \mathbf {K} }$: Левша тривиальная полугруппа	е: eS = е, Эквивалентно, я полугруппа левых нулей, равная E, Эквивалентно для конечной полугруппы: я полугруппа левых нулей равна ${\displaystyle S^{|S|}}$, Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}y=a_{1}\dots a_{n}}$, Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle a^{\omega }b=a^{\omega }}$.	Конечный	Штырь С. 149, 158
${\displaystyle \mathbf {r1} }$/${\displaystyle \mathbf {D} }$: Тривиальная справа полугруппа	е: Se = е, Эквивалентно, я полугруппа правых нулей, равная E, Эквивалентно для конечной полугруппы: я полугруппа правых нулей равна ${\displaystyle S^{|S|}}$, Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle ba_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$, Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle ba^{\omega }=a^{\omega }}$.	Конечный	Штырь С. 149, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {1} }$: Локально тривиальная полугруппа	eSe = е, Эквивалентно, я равно E, Эквивалентно, eaf = ef, Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$, Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$, Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle a^{\omega }ba^{\omega }=a^{\omega }}$.	Конечный	Штырь С. 150, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {G} }$: Локально группы	eSe это группа, Эквивалентно, E⊆я, Эквивалентно для конечной полугруппы: ${\displaystyle (a^{\omega }ba^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }}$.	Конечный	Штырь С. 151, 158

Список специальных классов упорядоченных полугрупп

Терминология	Определение собственности	Разнообразие	Использованная литература)
Упорядоченная полугруппа	Полугруппа с отношением частичного порядка ≤ такая, что а ≤ б влечет c • a ≤ c • b и a • c ≤ b • c	Конечный	Штырь п. 14
${\displaystyle \mathbf {N} ^{+}}$	Нильпотентные конечные полугруппы с ${\displaystyle a\leq b^{\omega }}$	Конечный	Штырь С. 157, 158
${\displaystyle \mathbf {N} ^{-}}$	Нильпотентные конечные полугруппы с ${\displaystyle b^{\omega }\leq a}$	Конечный	Штырь С. 157, 158
${\displaystyle \mathbf {J} _{1}^{+}}$	Полурешетки с ${\displaystyle 1\leq a}$	Конечный	Штырь С. 157, 158
${\displaystyle \mathbf {J} _{1}^{-}}$	Полурешетки с ${\displaystyle a\leq 1}$	Конечный	Штырь С. 157, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {J} _{1}^{+}}$ локально положительная J-тривиальная полугруппа	Конечные полугруппы, удовлетворяющие ${\displaystyle a^{\omega }\leq a^{\omega }ba^{\omega }}$	Конечный	Штырь С. 157, 158

использованная литература

[C&P]		А. Х. Клиффорд, Г. Б. Престон (1964). Алгебраическая теория полугрупп Vol. я (Второе издание). Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-0272-4
[C&P II]		А. Х. Клиффорд, Г. Б. Престон (1967). Алгебраическая теория полугрупп Vol. II (Второе издание). Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0272-0
[Чен]		Хуэй Чен (2006), "Построение разновидности полугрупп с изобилием", Математические коммуникации (11), 165–171 (доступ 25 апреля 2009 г.)
[Делг]		М. Дельгадо, и другие., Числовые полугруппы, [1] (Проверено 27 апреля 2009 г.)
[Эдва]		П. М. Эдвардс (1983), "В конечном итоге регулярные полугруппы", Бюллетень Австралийского математического общества 28, 23–38
[Грил]		П. А. Грийе (1995). Полугруппы. CRC Press. ISBN  978-0-8247-9662-4
[Хари]		К. С. Харинатх (1979), "Некоторые результаты по k-регулярные полугруппы », Индийский журнал чистой и прикладной математики 10(11), 1422–1431
[Как я]		Дж. М. Хауи (1995), Основы теории полугрупп, Oxford University Press
[Надя]		Аттила Надь (2001). Специальные классы полугрупп. Springer. ISBN  978-0-7923-6890-8
[Домашнее животное]		М. Петрич, Н. Р. Рейли (1999). Полностью регулярные полугруппы. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-19571-9
[Шум]		К. П. Шум "Полугруппы Rpp, их обобщения и специальные подклассы" в Успехи в алгебре и комбинаторике под редакцией К. П. Шума и др. (2008), Всемирный научный, ISBN  981-279-000-4 (стр. 303–334)
[ТВм]		Материалы международного симпозиума по теории регулярных полугрупп и приложений, Университет Кералы, Тируванантапурам, Индия, 1986
[Kela]		Келарев А.В., Приложения эпигрупп к теории градуированных колец, Полугруппа Форум, Volume 50, Number 1 (1995), 327-350 Дои:10.1007 / BF02573530
[KKM]		Мати Кильп, Ульрих Кнауэр, Александр В. Михалев (2000), Моноиды, акты и категории: с приложениями к сплетенным изделиям и графикам, Выставки по математике 29, Вальтер де Грюйтер, Берлин, ISBN  978-3-11-015248-7.
[Хигг]		Питер М. Хиггинс (1992). Методы теории полугрупп. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-853577-5.
[Штырь]		Пин, Жан-Эрик (2016-11-30). Математические основы теории автоматов (PDF).
[Феннемор]		Феннемор, Чарльз (1970), «Все разновидности полос», Полугруппа Форум, 1 (1): 172–179, Дои:10.1007 / BF02573031