Поле разделения - Splitting field

Эта статья о поле расщепления многочлена. Для поля разделения CSA см. центральная простая алгебра.

В абстрактная алгебра, а поле расщепления из многочлен с коэффициентами в поле самый маленький расширение поля того поля, над которым полином раскол или разлагается на линейные факторы.

Определение

А поле расщепления полинома п(Икс) над полем K расширение поля L из K в течение которого п факторы в линейные факторы

${\displaystyle p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg(p)}(X-a_{i})}$

где ${\displaystyle c\in K}$ и для каждого ${\displaystyle i}$ у нас есть ${\displaystyle (X-a_{i})\in L[X]}$ с а_я не обязательно различны и такие, что корни а_я генерировать L над K. Расширение L тогда является продолжением минимального степень над K в котором п раскалывается. Можно показать, что такие поля расщепления существуют и единственны. вплоть до изоморфизм. Степень свободы в этом изоморфизме известна как Группа Галуа из п (если предположить, что это отделяемый ).

Характеристики

Расширение L который является поле расщепления для набора многочленов п(Икс) над K называется нормальное расширение из K.

Учитывая алгебраически замкнутое поле А содержащий K, существует единственное поле расщепления L из п между K и А, порожденный корни из п. Если K является подполем сложные числа, существование немедленно. С другой стороны, существование алгебраических замыканий в общем случае часто доказывается «предельным переходом» из результата о поле расщепления, что, следовательно, требует независимого доказательства, чтобы избежать круговое рассуждение.

Учитывая отделяемое расширение K' из K, а Закрытие Галуа L из K′ - это тип поля расщепления, а также Расширение Галуа из K содержащий K′ Минимальная в очевидном смысле. Такое замыкание Галуа должно содержать поле расщепления для всех многочленов п над K которые минимальные многочлены над K элементов а из K′.

Построение полей разбиения

Мотивация

обнаружение корни многочленов была важной проблемой со времен древних греков. Однако некоторые полиномы, такие как Икс² + 1 над р, действительные числа, не имеют корней. Построив поле расщепления для такого многочлена, можно найти корни многочлена в новом поле.

Конструкция

Позволять F быть полем и п(Икс) - многочлен от кольцо многочленов F[Икс] степени п. Общий процесс строительства K, поле расщепления п(Икс) над F, заключается в построении последовательности полей ${\displaystyle F=K_{0},K_{1},\ldots K_{r-1},K_{r}=K}$ такой, что K_я является продолжением K_я−1 содержащий новый корень п(Икс). поскольку п(Икс) имеет не более п корни конструкции потребуется не более п расширения. Этапы построения K_я представлены следующим образом:

• Факторизовать п(Икс) над K_я в несводимый факторы ${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)}$.
• Выберите любой нелинейный неприводимый множитель ж(Икс) = ж_я(Икс).
• Построить расширение поля K_я+1 из K_я как кольцо частного K_я+1 = K_я[Икс]/(ж(Икс)) куда (ж(Икс)) обозначает идеальный в K_я[Икс] создано ж(Икс)
• Повторите процесс для K_я+1 до тех пор п(Икс) полностью факторы.

Несократимый фактор ж_я используемый в построении частного может быть выбран произвольно. Хотя различный выбор факторов может привести к разным последовательностям подполей, результирующие поля разделения будут изоморфными.

поскольку ж(Икс) неприводимо, (ж(Икс)) это максимальный идеал и, следовательно K_я[Икс]/(ж(Икс)) фактически является полем. Более того, если мы положим ${\displaystyle \pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))}$ - естественная проекция кольца на его фактор, то

${\displaystyle f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0}$

так что π (Икс) является корнем ж(Икс) и из п(Икс).

Степень разового расширения ${\displaystyle [K_{i+1}:K_{i}]}$ равна степени неприводимого множителя ж(Икс). Степень расширения [K : F] дан кем-то ${\displaystyle [K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]}$ и самое большее п!.

Поле K_я[Икс]/(ж(Икс))

Как упоминалось выше, фактор-кольцо K_я+1 = K_я[Икс]/(ж(Икс)) является полем, когда ж(Икс) неприводимо. Его элементы имеют вид

${\displaystyle c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}}$

где c_j находятся в K_я и α = π (Икс). (Если учесть K_я+1 как векторное пространство над K_я то степени α^j за 0 ≤ j ≤ п−1 составляют основу.)

Элементы K_я+1 можно рассматривать как многочлены от α степени меньше п. Дополнение в K_я+1 задается правилами сложения полиномов, а умножение - умножением полиномов по модулю ж(Икс). То есть для грамм(α) и час(α) в K_я+1 продукт грамм(α)час(α) = р(α) где р(Икс) является остатком грамм(Икс)час(Икс) деленное на ж(Икс) в K_я[Икс].

Остаток р(Икс) можно вычислить путем длинного деления многочленов, однако существует также простое правило сокращения, которое можно использовать для вычисления р(α) = грамм(α)час(α) напрямую. Сначала позвольте

${\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.}$

Полином находится над полем, поэтому можно взять ж(Икс) быть моник не теряя общий смысл. Теперь α является корнем ж(Икс), так

${\displaystyle \alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).}$

Если продукт грамм(α)час(α) имеет член α^м с м ≥ п его можно уменьшить следующим образом:

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}\right)\alpha ^{m-n}=-\left(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{m-n}\right)}$.

В качестве примера правила редукции возьмем K_я = Q[Икс], кольцо многочленов с рациональными коэффициентами, и возьмем ж(Икс) = Икс⁷ - 2. Пусть ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$ и час(α) = α³ +1 быть двумя элементами Q[Икс]/(Икс⁷ - 2). Правило редукции, данное ж(Икс) является α⁷ = 2, поэтому

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=\left(\alpha ^{5}+\alpha ^{2}\right)\left(\alpha ^{3}+1\right)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=\left(\alpha ^{7}\right)\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

Примеры

Комплексные числа

Рассмотрим кольцо многочленов р[Икс], а неприводимый многочлен Икс² + 1. В кольцо частного р[Икс] / (Икс² + 1) дается соответствие Икс² ≡ −1. В результате элементы (или классы эквивалентности ) из р[Икс] / (Икс² + 1) имеют форму а + bx где а и б принадлежит р. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что, поскольку Икс² ≡ −1 это следует из того Икс³ ≡ −Икс, Икс⁴ ≡ 1, Икс⁵ ≡ Икс, так далее.; и так, например п + qx + rx² + sx³ ≡ п + qx + р⋅(−1) + s⋅(−Икс) = (п − р) + (q − s)⋅Икс.

Операции сложения и умножения задаются сначала с помощью обычного полиномиального сложения и умножения, а затем сокращения по модулю Икс² + 1, т.е. используя тот факт, что Икс² ≡ −1, Икс³ ≡ −Икс, Икс⁴ ≡ 1, Икс⁵ ≡ Икси т.д. Таким образом:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

Если мы определим а + bx с участием (а,б), то мы видим, что сложение и умножение задаются формулами

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Мы утверждаем, что как поле фактор р[Икс] / (Икс² + 1) является изоморфный к сложные числа, C. Общее комплексное число имеет вид а + яб, где а и б настоящие числа и я² = −1. Сложение и умножение даются

${\displaystyle (a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2})=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+ib_{1})\cdot (a_{2}+ib_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Если мы определим а + яб с участием (а,б), то мы видим, что сложение и умножение задаются формулами

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Предыдущие вычисления показывают, что сложение и умножение ведут себя одинаково в р[Икс] / (Икс² + 1) и C. Фактически, мы видим, что карта между р[Икс]/(Икс² + 1) и C данный а + bx → а + яб это гомоморфизм относительно сложения и умножение. Также очевидно, что карта а + bx → а + яб оба инъективный и сюръективный; означающий, что а + bx → а + яб это биективный гомоморфизм, т.е. изоморфизм. Отсюда следует, что, как утверждается: р[Икс] / (Икс² + 1) ≅ C.

В 1847 г. Коши использовал этот подход к определить комплексные числа.^[1]

Кубический пример

Позволять K быть поле рациональных чисел Q и п(Икс) = Икс³ − 2. Каждый корень п равно ³√2 раз а кубический корень из единицы. Следовательно, если обозначить кубические корни из единицы через

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,}$

${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

любое поле, содержащее два различных корня п будет содержать частное между двумя различными кубическими корнями из единицы. Такое частное является примитивным кубическим корнем из единицы - либо ω₂ или ${\displaystyle \omega _{3}=1/\omega _{2}}$. Отсюда следует, что поле расщепления L из п будет содержать ω₂, а также настоящий кубический корень из 2; наоборот, любое расширение Q содержащий эти элементы содержит все корни п. Таким образом

${\displaystyle L=\mathbf {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2}\right)=\left\{\left.a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2^{2}}}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2^{2}}}\omega _{2}\right|a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \right\}}$

Обратите внимание, что применение процесса построения, описанного в предыдущем разделе, к этому примеру, начинается с ${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$ и строит поле ${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$. Это поле не является полем разделения, но содержит один (любой) корень. Однако полином ${\displaystyle Y^{3}-2}$ не является неприводимым по ${\displaystyle K_{1}}$ а на самом деле:

${\displaystyle Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle X}$ не является неопределенным, а фактически является элементом ${\displaystyle K_{1}}$. Теперь, продолжая процесс, получаем ${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$ которое действительно является полем расщепления и натянуто на ${\displaystyle \mathbf {Q} }$-основа ${\displaystyle \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$. Обратите внимание, что если мы сравним это с ${\displaystyle L}$ сверху мы можем идентифицировать ${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$ и ${\displaystyle Y=\omega _{2}}$.

Другие примеры

• Поле расщепления Икс^q - Икс над F_п единственное конечное поле F_q за q = п^п.^[2] Иногда это поле обозначают GF (q).

• Поле расщепления Икс² +1 больше F₇ является F₄₉; многочлен не имеет корней в F₇, т.е. −1 там не квадрат, потому что 7 не эквивалентно 1 (mod 4).^[3]

• Поле расщепления Икс² - 1 больше F₇ является F₇ поскольку Икс² − 1 = (Икс + 1)(Икс - 1) уже разложены на линейные факторы.

• Рассчитываем поле расщепления ж(Икс) = Икс³ + Икс +1 больше F₂. Легко убедиться, что ж(Икс) не имеет корней в F₂, следовательно ж(Икс) неприводима в F₂[Икс]. Положил р = Икс + (ж(Икс)) в F₂[Икс]/(ж(Икс)) так F₂(р) - поле и Икс³ + Икс + 1 = (Икс + р)(Икс² + топор + б) в F₂(р)[Икс]. Обратите внимание, что мы можем написать + вместо -, поскольку характеристика равна двум. Сравнение коэффициентов показывает, что а = р и б = 1 + р². Элементы F₂(р) можно указать как c + доктор + э², где c, d, е находятся в F₂. Всего восемь элементов: 0, 1, р, 1 + р, р², 1 + р², р + р² и 1+ р + р². Подставив их в Икс² + rx + 1 + р² мы достигаем (р²)² + р(р²) + 1 + р² = р⁴ + р³ + 1 + р² = 0, поэтому Икс³ + Икс + 1 = (Икс + г) (Икс + р²)(Икс + (р + р²)) за р в F₂[Икс]/(ж(Икс)); E = F₂(р) является полем расщепления Икс³ + Икс +1 больше F₂.

Примечания

1. Коши, Огюстен-Луи (1847), «Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques, substituée à la théorie des imaginaires», Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (На французском), 24: 1120–1130
2. Серр. Курс арифметики.
3. Вместо того, чтобы применять эту характеризацию нечетных простых модулей, для которых −1 является квадратом, можно просто проверить, что набор квадратов в F₇ - это набор классов 0, 1, 4 и 2, который не включает класс −1≡6.

использованная литература

• Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-36857-1.
• «Поле расщепления многочлена», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Поле разделения». MathWorld.