Звездное уточнение - Star refinement

В математика, в частности, при изучении топология и открытые крышки из топологическое пространство Икс, а звездная утонченность это особый вид доработка открытой крышки из Икс.

Общее определение имеет смысл для произвольных покрытий и не требует топологии. Позволять ${\displaystyle X}$ быть набором и пусть ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ быть прикрытием ${\displaystyle X}$, т.е. ${\displaystyle X=\bigcup {\mathcal {U}}}$. Учитывая подмножество ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle X}$ затем звезда из ${\displaystyle S}$ относительно ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ является объединением всех множеств ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ которые пересекаются ${\displaystyle S}$, то есть:

${\displaystyle \mathrm {st} (S,{\mathcal {U}})=\bigcup {\big \{}U:U\in {\mathcal {U}},\ S\cap U\neq \emptyset {\big \}}.}$

Учитывая точку ${\displaystyle x\in X}$, мы пишем ${\displaystyle \mathrm {st} (x,{\mathcal {U}})}$ вместо ${\displaystyle \mathrm {st} (\{x\},{\mathcal {U}})}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle \mathrm {st} (S,{\mathcal {U}})\neq \bigcup _{O\in {\mathcal {U}}}(O\cap S)}$.

Покрытие ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ из ${\displaystyle X}$ считается уточнение покрытия ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ из ${\displaystyle X}$ если каждый ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ содержится в некоторых ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}}$. Покрытие ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ считается барицентрическое уточнение из ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ если для каждого ${\displaystyle x\in X}$ звезда ${\displaystyle \mathrm {st} (x,{\mathcal {U}})}$ содержится в некоторых ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}}$. Наконец, покрытие ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ считается звездная утонченность из ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ если для каждого ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$ звезда ${\displaystyle \mathrm {st} (U,{\mathcal {U}})}$ содержится в некоторых ${\displaystyle V\in {\mathcal {V}}}$.

Звездные уточнения используются в определении полностью нормальное пространство и в одном определении однородное пространство. Это также полезно для определения характеристик паракомпактности.

Рекомендации

• Дж. Дугунджи, Топология, Allyn and Bacon Inc., 1966.
• Линн Артур Стин и Дж. Артур Сибах-младший; 1970; Контрпримеры в топологии; 2-е (1995) Дуврское издание ISBN  0-486-68735-X; стр.165.