Этальные когомологии - Étale cohomology

В математика, то группы этальных когомологий из алгебраическое многообразие или схема являются алгебраическими аналогами обычных когомология группы с конечными коэффициентами топологическое пространство, представлен Гротендик чтобы доказать Гипотезы Вейля. Теорию этальных когомологий можно использовать для построения ℓ-адические когомологии, который является примером Теория когомологий Вейля в алгебраической геометрии. У этого есть много приложений, таких как доказательство гипотез Вейля и построение представления конечных групп лиева типа.

История

Этальные когомологии были введены Александр Гротендик  (1960 ), используя некоторые предложения Жан-Пьер Серр, и был мотивирован попыткой построить Теория когомологий Вейля чтобы доказать Гипотезы Вейля. Основы были вскоре разработаны Гротендиком вместе с Майкл Артин, и опубликовано как (Артин 1962 г. ) и SGA 4. Гротендик использовал этальные когомологии для доказательства некоторых гипотез Вейля (Бернард Дворк уже успел доказать рациональную часть гипотез в 1960 г., используя p-адический методов), а оставшаяся гипотеза - аналог Гипотеза Римана было доказано Пьер Делинь (1974) с использованием ℓ-адических когомологий.

Дальнейший контакт с классической теорией был обнаружен в форме версии теории Гротендика. Группа Брауэра; это было применено в короткие сроки диофантова геометрия, от Юрий Манин. Бремя и успех общей теории, безусловно, заключались как в интеграции всей этой информации, так и в доказательстве общих результатов, таких как Двойственность Пуанкаре и Теорема Лефшеца о неподвижной точке в контексте.

Гротендик первоначально разработал этальные когомологии в чрезвычайно общих условиях, работая с такими понятиями, как Гротендик позирует и Вселенные Гротендика. Оглядываясь назад, можно сказать, что большая часть этого механизма оказалась ненужной для большинства практических приложений этальной теории, и Делинь (1977) дал упрощенное изложение теории этальных когомологий. Гротендик использовал эти вселенные (существование которых не может быть доказано в Теория множеств Цермело – Френкеля ) привели к некоторым предположениям, что этальные когомологии и их приложения (например, доказательство Последняя теорема Ферма ) требуют аксиом, выходящих за рамки ZFC. Однако на практике этальные когомологии используются в основном в случае конструктивные связки над схемами конечного типа над целыми числами, и это не требует глубоких аксиом теории множеств: с осторожностью необходимые объекты могут быть построены без использования каких-либо бесчисленных множеств, и это может быть сделано в ZFC и даже в гораздо более слабых теориях.

Этальные когомологии быстро нашли другие приложения, например Делиня и Джордж Люстиг использовал это, чтобы построить представления конечных группы лиева типа; увидеть Теория Делиня – Люстига.

Мотивация

Для комплексных алгебраических многообразий инварианты алгебраической топологии, такие как фундаментальная группа и группы когомологий очень полезны, и хотелось бы иметь их аналоги для многообразий над другими полями, такими как конечные поля. (Одна из причин этого состоит в том, что Вейль предположил, что гипотезы Вейля могут быть доказаны с использованием такой теории когомологий.) В случае когомологий когерентные пучки, Серр показал, что можно получить удовлетворительную теорию, просто используя Топология Зарисского алгебраического многообразия, а в случае комплексных многообразий это дает те же группы когомологий (для когерентных пучков), что и гораздо более тонкая комплексная топология. Однако для постоянных пучков, таких как пучок целых чисел, это не работает: группы когомологий, определенные с использованием топологии Зарисского, плохо себя ведут. Например, Вейль представил теорию когомологий для многообразий над конечными полями с той же мощностью, что и обычные особые когомологии топологических пространств, но на самом деле любой постоянный пучок на неприводимом многообразии имеет тривиальные когомологии (все высшие группы когомологий обращаются в нуль).

Причина того, что топология Зарисского не работает, в том, что она слишком грубая: в ней слишком мало открытых множеств. Кажется, нет хорошего способа исправить это, используя более тонкую топологию на общем алгебраическом многообразии. Ключевой идеей Гротендика было осознание того, что нет причин, по которым более общие открытые множества должны быть подмножествами алгебраического разнообразия: определение пучка отлично работает для любой категории, а не только для категории открытых подмножеств пространства. Он определил этальные когомологии, заменив категорию открытых подмножеств пространства категорией этальных отображений в пространство: грубо говоря, их можно рассматривать как открытые подмножества конечных неразветвленных покрытий пространства. Оказывается (после большой работы) они дают ровно столько дополнительных открытых множеств, что можно получить разумные группы когомологий для некоторых постоянных коэффициентов, в частности для коэффициентов Z/пZ когда п взаимно прост с характеристика поля одна прорабатывается.

Вот некоторые основные интуитивные догадки теории:

• В эталь требование - это условие, которое позволило бы применить теорема о неявной функции если бы это было верно в алгебраической геометрии (но это не так - неявные алгебраические функции в более ранней литературе называются алгеброидом).
• Существуют некоторые основные случаи размерности 0 и 1, и для абелева разновидность, где ответы с постоянными пучками коэффициентов могут быть предсказаны (через Когомологии Галуа и Модули Тейт ).

Определения

Для любого схема Икс категория Et (Икс) - категория всех этальные морфизмы от схемы к Икс. Это аналог категории открытых подмножеств топологического пространства, и его объекты можно неформально рассматривать как «этальные открытые подмножества» Икс. Пересечение двух открытых множеств топологического пространства соответствует возврату двух этальных отображений в Икс. Здесь возникает довольно незначительная теоретико-множественная проблема, поскольку Et (Икс) является «большой» категорией: ее объекты не образуют множество. Однако это эквивалентно небольшой категории, потому что этальные морфизмы локально имеют конечное представление, поэтому безвредно притворяться, что это небольшая категория.

А предпучка на топологическом пространстве Икс контравариант функтор из категории открытых подмножеств в множества. По аналогии определим étale preheaf по схеме Икс быть контравариантным функтором из Et (Икс) в наборы.

Предпучка F на топологическом пространстве называется пучок если он удовлетворяет условию связки: всякий раз, когда открытое подмножество покрывается открытыми подмножествами U_я, и нам даны элементы F(U_я) для всех я чьи ограничения на U_я ∩ U_j согласен для всех я, j, то это изображения уникального элемента F(U). По аналогии, этальный предпучок называется пучком, если он удовлетворяет тому же условию (с пересечениями открытых множеств, замененными обратными образами этальных морфизмов, и где набор этальных отображается в U Говорят, что покрывает U если топологическое пространство, лежащее в основе U это объединение их образов). В более общем смысле можно определить связку для любого Топология Гротендика по категории аналогичным образом.

Категория пучков абелевых групп над схемой имеет достаточно инъективных объектов, поэтому можно определить правые производные функторы от левых точных функторов. В группы этальных когомологий ЧАС^я(F) пучка F абелевых групп определяются как правые производные функторы функтора секций,

${\displaystyle F\to \Gamma (F)}$

(где пространство сечений Γ (F) из F является F(Икс)). Сечения пучка можно представить как Hom (Z, F) где Z это связка, которая возвращает целые числа как абелева группа. Идея производный функтор вот что функтор секций не уважает точные последовательности поскольку это не совсем верно; в соответствии с общими принципами гомологическая алгебра будет последовательность функторов ЧАС ⁰, ЧАС ¹, ... которые представляют собой «компенсации», которые должны быть сделаны для восстановления некоторой степени точности (длинные точные последовательности, возникающие из коротких). В ЧАС ⁰ функтор совпадает с функтором сечения Γ.

В более общем смысле, морфизм схем ж : Икс → Y индуцирует карту ж_∗ из этальных снопов над Икс переварить снопы Y, а его правые производные функторы обозначаются через р^qж_∗, за q неотрицательное целое число. В частном случае, когда Y - спектр алгебраически замкнутого поля (точки), р^qж_∗(F ) такой же как ЧАС^q(F ).

Предположим, что Икс это нётерова схема. Абелева этальная связка F над Икс называется конечная локально постоянная если он представлен этальной обложкой Икс. Это называется конструктивный если Икс покрывается конечным семейством подсхем, на каждую из которых ограничение F конечна локально постоянная. Это называется кручение если F(U) - группа кручения для всех этальных покрытий U из Икс. Конечные локально постоянные пучки являются конструктивными, а конструктивные пучки - кручением. Каждый торсионный пучок является фильтрованным индуктивным пределом конструктивных пучков.

ℓ-адические группы когомологий

В приложениях к алгебраической геометрии над конечное поле F_q с характерной п, главной задачей было найти замену особые когомологии группы с целыми (или рациональными) коэффициентами, которые недоступны так же, как для геометрии алгебраическое многообразие над комплексное число поле. Étale cohomology отлично работает для коэффициентов Z/пZ за п сопредседатель п, но дает неудовлетворительные результаты для не крутильных коэффициентов. Чтобы получить группы когомологий без кручения из этальных когомологий, нужно взять обратный предел групп этальных когомологий с некоторыми коэффициентами кручения; это называется ℓ-адические когомологии, где ℓ обозначает любое простое число, отличное от п. Считается, что для схем V, группы когомологий

${\displaystyle H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )}$

и определяет группа ℓ-адических когомологий

${\displaystyle H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })=\varprojlim H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )}$

как их обратный предел. Здесь Z_ℓ обозначает ℓ-адические целые числа, но определение осуществляется с помощью системы «постоянных» пучков с конечными коэффициентами Z/ ℓ^kZ. (Здесь есть пресловутая ловушка: когомологии нет коммутируют с переходом к обратным пределам, и группа ℓ-адических когомологий, определяемая как обратный предел, является нет когомологии с коэффициентами в этальном пучке Z_ℓ; последняя группа когомологий существует, но дает "неправильные" группы когомологий.)

В более общем смысле, если F обратная система этальных пучков F_я, то когомологии F определяется как обратный предел когомологий пучков F_я

${\displaystyle H^{q}(X,F)=\varprojlim H^{q}(X,F_{i}),}$

и хотя есть естественная карта

${\displaystyle H^{q}(X,\varprojlim F_{i})\to \varprojlim H^{q}(X,F_{i}),}$

это нет обычно изоморфизм. An ℓ-адическая связка особого рода обратная система этальных пучков F_я, где я проходит через положительные целые числа, и F_я это модуль над Z/ ℓ^я Z и карта из F_я+1 к F_я это просто мод сокращения Z/ ℓ^я Z.

Когда V это неособый алгебраическая кривая из род г, ЧАС¹ это бесплатный Z_ℓ-модуль ранга 2г, двойная к Модуль Тейт из Якобиева многообразие из V. С первого Бетти число из Риманова поверхность рода г 2г, это изоморфно обычным сингулярным когомологиям с Z_ℓ коэффициенты для комплексных алгебраических кривых. Это также показывает одну причину, по которой условие ℓ ≠п требуется: когда ℓ =п ранг модуля Тейт не превосходит г.

Торсионные подгруппы может произойти, и были применены Майкл Артин и Дэвид Мамфорд к геометрическим вопросам^{[нужна цитата ]}. Чтобы удалить любую подгруппу кручения из ℓ-адических групп когомологий и получить группы когомологий, которые являются векторными пространствами над полями характеристики 0, нужно определить

${\displaystyle H^{i}(V,\mathbf {Q} _{\ell })=H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }.}$

Это обозначение вводит в заблуждение: символ Q_ℓ слева не представляет ни этальный пучок, ни ℓ-адический пучок. Этальные когомологии с коэффициентами в постоянном этальном пучке Q_ℓ также существует, но сильно отличается от ${\displaystyle H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }}$. Смешивать эти две группы - распространенная ошибка.

Характеристики

В общем случае группы ℓ-адических когомологий многообразия обладают свойствами, аналогичными свойствам особых групп когомологий комплексных многообразий, за исключением того, что они являются модулями над целыми ℓ-адическими числами (или числами), а не над целыми числами (или рациональными числами). Они удовлетворяют форме Двойственность Пуанкаре на неособых проективных многообразиях, а группы ℓ-адических когомологий «модуля редукции p» комплексного многообразия стремятся иметь тот же ранг, что и группы особых когомологий. А Формула Кюннета также имеет место.

Например, первая группа когомологий комплексной эллиптической кривой является свободным модулем ранга 2 над целыми числами, а первая ℓ-адическая группа когомологий эллиптической кривой над конечным полем является свободным модулем ранга 2 над ℓ- целые адические числа, при условии, что не является характеристикой рассматриваемого поля и двойственна его Модуль Тейт.

Есть один способ, которым группы ℓ-адических когомологий лучше, чем группы сингулярных когомологий: на них обычно действуют Группы Галуа. Например, если комплексное многообразие определено над рациональными числами, его ℓ-адические группы когомологий действуют на абсолютная группа Галуа рациональных чисел: они позволяют Представления Галуа.

Элементы группы Галуа рациональных чисел, кроме тождества и комплексное сопряжение, обычно не действуют непрерывно на комплексном многообразии, определенном над рациональными числами, поэтому не действуют на особых группах когомологий. Этот феномен представлений Галуа связан с тем, что фундаментальная группа топологического пространства действует на особые группы когомологий, поскольку Гротендик показал, что группу Галуа можно рассматривать как своего рода фундаментальную группу. (Смотрите также Теория Галуа Гротендика.)

Вычисление групп этальных когомологий алгебраических кривых

Основным начальным шагом в вычислении групп этальных когомологий многообразия является вычисление их для полных связных гладких алгебраических кривых Икс над алгебраически замкнутыми полями k. Этальными группами когомологий произвольных многообразий можно тогда управлять, используя аналоги обычного механизма алгебраической топологии, такие как спектральная последовательность расслоения. Для кривых расчет выполняется в несколько этапов, а именно (Артин 1962 г. ). Позволять г_м обозначим пучок отличных от нуля функций.

Расчет ЧАС¹(Икс, ГРАММ_м)

Точная последовательность этальных пучков

${\displaystyle 1\to \mathbf {G} _{m}\to j_{*}\mathbf {G} _{m,K}\to \bigoplus _{x\in |X|}i_{x*}\mathbf {Z} \to 1}$

дает длинную точную последовательность групп когомологий

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{0}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{1}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to \cdots \end{aligned}}}$

Здесь j является инъекцией общей точки, я_Икс это инъекция замкнутой точки Икс, г_м,K это связка г_м на Спецификация K (общая точка Икс), и Z_Икс это копия Z для каждой закрытой точки Икс. Группы ЧАС^я(я_Икс* Z) исчезают, если я > 0 (потому что я_Икс* Z это сноп небоскреба ) и для я = 0 они Z поэтому их сумма - это просто группа делителей Икс. Более того, первая группа когомологий ЧАС ¹(Икс, j_∗г_м,K) изоморфна группе когомологий Галуа ЧАС ¹(K, K*) который исчезает Теорема Гильберта 90. Следовательно, длинная точная последовательность групп этальных когомологий дает точную последовательность

${\displaystyle K\to \mathrm {Div} (X)\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to 1}$

где Div (Икс) - группа делителей Икс и K - его функциональное поле. Особенно ЧАС ¹(Икс, г_м) это Группа Пикард Рис (Икс) (и первые группы когомологий г_м одинаковы для этальной топологии и топологии Зариского). Этот шаг работает для сортов Икс любой размерности (с заменой точек на подмногообразия коразмерности 1), а не только кривых.

Расчет ЧАС^я(Икс, ГРАММ_м)

Та же самая длинная точная последовательность выше показывает, что если я ≥ 2, то группа когомологий ЧАС^я(Икс, г_м) изоморфна ЧАС^я(Икс, j_*г_м,K), которая изоморфна группе когомологий Галуа ЧАС^я(K, K*). Теорема Цена следует, что группа Брауэра функционального поля K по одной переменной над алгебраически замкнутым полем обращается в нуль. Это, в свою очередь, означает, что все группы когомологий Галуа ЧАС^я(K, K*) исчезают для я ≥ 1, поэтому все группы когомологий ЧАС^я(Икс, г_м) исчезают, если я ≥ 2.

Расчет ЧАС^я(Икс, μ_п)

Если μ_п это связка п-й корни единства и п и характеристика поля k являются взаимно простыми целыми числами, тогда:

${\displaystyle H^{i}(X,\mu _{n})={\begin{cases}\mu _{n}(k)&i=0\\\mathrm {Pic} _{n}(X)&i=1\\\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} &i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}}$

где рис_п(Икс) является группой п-точки кручения Pic (Икс). Это следует из предыдущих результатов с использованием длинной точной последовательности

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,\mu _{n})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{1}(X,\mu _{n})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{2}(X,\mu _{n})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to \cdots \end{aligned}}}$

точной последовательности Куммера этальных пучков

${\displaystyle 1\to \mu _{n}\to \mathbf {G} _{m}{\xrightarrow {(\cdot )^{n}}}\mathbf {G} _{m}\to 1.}$

и вставив известные значения

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbf {G} _{m})={\begin{cases}k^{*}&i=0\\\mathrm {Pic} (X)&i=1\\0&i\geqslant 2\end{cases}}}$

В частности, мы получаем точную последовательность

${\displaystyle 1\to H^{1}(X,\mu _{n})\to \mathrm {Pic} (X){\xrightarrow {\times n}}\mathrm {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mu _{n})\to 1.}$

Если п делится на п этот аргумент не работает, потому что п-корни из единицы ведут себя странно над полями характеристической п. В топологии Зарисского последовательность Куммера не точна справа, так как функция, отличная от нуля, обычно не имеет п-корень -й степени локально для топологии Зарисского, так что это то место, где использование этальной топологии, а не топологии Зарисского является важным.

Расчет ЧАС^я(Икс, Z /пZ)

Исправив примитив п-корень из единицы мы можем идентифицировать группу Z/пZ с группой μ_п из пкорни единства. Этальная группа ЧАС^я(Икс, Z/пZ) является свободным модулем над кольцом Z/пZ и его ранг определяется как:

${\displaystyle {\text{rank}}(H^{i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ))={\begin{cases}1&i=0\\2g&i=1\\1&i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}}$

где г это род кривой Икс. Это следует из предыдущего результата, использующего тот факт, что группа Пикара кривой - это точки ее Якобиева многообразие, абелева разновидность измерения г, и если п взаимно проста с характеристикой, то точки порядка, делящие п в абелевом многообразии размерностей г над алгебраически замкнутым полем образуют группу, изоморфную (Z/пZ)^2г. Эти значения для этальной группы ЧАС^я(Икс, Z/пZ) совпадают с соответствующими группами особых когомологий, когда Икс представляет собой сложную кривую.

Расчет ЧАС^я(Икс, Z /пZ)

Аналогичным образом можно вычислить этальные группы когомологий с постоянными коэффициентами порядка, кратного характеристике, используя Артин-Шрайер последовательность

${\displaystyle 0\to \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \to K\ {\xrightarrow {{} \atop x\mapsto x^{p}-x}}\ K\to 0}$

вместо последовательности Куммера. (Для коэффициентов в Z/п^пZ есть аналогичная последовательность, включающая Векторы Витта.) Полученные группы когомологий обычно имеют ранг ниже, чем у соответствующих групп характеристики 0.

Примеры групп этальных когомологий

• Если Икс это спектр поля K с абсолютной группой Галуа г, то этальные связки Икс соответствуют непрерывным множествам (или абелевым группам), на которых действует (проконечная) группа г, а этальные когомологии пучка совпадают с групповые когомологии из г, т.е. Когомологии Галуа из K.
• Если Икс является комплексным многообразием, то этальные когомологии с конечными коэффициентами изоморфны сингулярным когомологиям с конечными коэффициентами. (Это неверно для целочисленных коэффициентов.) В более общем смысле когомологии с коэффициентами в любых конструктивная связка то же самое.
• Если F это связный пучок (или г_м), то этальные когомологии F совпадает с когомологиями когерентного пучка Серра, вычисленными с топологией Зарисского (и если Икс - комплексное многообразие, это то же самое, что когомологии пучков, вычисляемые с помощью обычной комплексной топологии).
• Для абелевых многообразий и кривых существует элементарное описание ℓ-адических когомологий. Для абелевых многообразий первая ℓ-адическая группа когомологий является двойственной группе Модуль Тейт, а высшие группы когомологий задаются его внешними степенями. Для кривых первая группа когомологий является первой группой когомологий своего якобиана.Это объясняет, почему Вейль смог дать более элементарное доказательство гипотез Вейля в этих двух случаях: в общем, каждый ожидает найти элементарное доказательство всякий раз, когда имеется элементарное описание ℓ-адических когомологий.

Двойственность Пуанкаре и когомологии с компактным носителем

Группы этальных когомологий с компактным носителем многообразия Икс определены как

${\displaystyle H_{c}^{q}(X,F)=H^{q}(Y,j_{!}F)}$

где j это открытое погружение Икс в надлежащее разнообразие Y и j_! является продолжением посредством 0 этального пучка F к Y. Это не зависит от погружения j. Если Икс имеет размер не более п и F является торсионным пучком, то эти группы когомологий ${\displaystyle H_{c}^{q}(X,F)}$ с компактной опорой исчезают, если q > 2п, а если дополнительно Икс аффинна конечного типа над сепарабельно замкнутым полем группы когомологий ${\displaystyle H^{q}(X,F)}$ исчезнуть для q > п (последнее утверждение см. в SGA 4, XIV, Cor.3.2).

В более общем плане, если ж является отделимым морфизмом конечного типа от Икс к S (с участием Икс и S Нётерян), затем более высокие прямые изображения с компактной опорой р^qж_! определены

${\displaystyle R^{q}f_{!}(F)=R^{q}g_{*}(j_{!}F)}$

для любой торсионной связки F. Здесь j любое открытое погружение Икс в схему Y с правильным морфизмом г к S (с участием ж = gj), и по-прежнему определение не зависит от выбора j и Y. Когомологии с компактным носителем являются частным случаем этого с S точка. Если ж является отделимым морфизмом конечного типа, то р^qж_! принимает конструктивные связки на Икс строить связки на S. Если дополнительно волокна ж иметь размер не более п тогда р^qж_! исчезает на торсионных связках при q > 2n. Если Икс сложное разнообразие, то р^qж_! совпадает с обычным высшим прямым образом с компактным носителем (для комплексной топологии) для торсионных пучков.

Если Икс является гладким алгебраическим многообразием размерности N и п взаимно просто с характеристикой, то существует отображение следа

${\displaystyle \mathrm {Tr} :H_{c}^{2N}(X,\mu _{n}^{N})\rightarrow \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} }$

и билинейная форма Tr (а ∪ б) со значениями в Z/пZ определяет каждую из групп

${\displaystyle H_{c}^{i}(X,\mu _{n}^{N})}$

и

${\displaystyle H^{2N-i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )}$

с двойным другим. Это аналог двойственности Пуанкаре для этальных когомологий.

Приложение к кривым

Смотрите также: Формула Беренда

Вот как теория может быть применена к локальная дзета-функция из алгебраическая кривая.

Теорема. Позволять Икс быть кривой род г определяется по F_п, то конечное поле с п элементы. Тогда для п ≥ 1

${\displaystyle \#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=p^{n}+1-\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}^{n},}$

где α_я уверены алгебраические числа удовлетворение |α_я| = √п.

Это согласуется с п¹(F_п^п) быть кривой рода 0 с п^п + 1 точки. Это также показывает, что количество точек на любой кривой довольно близко (в пределах 2GP^{п / 2}) к проекционной прямой; в частности, он обобщает Теорема Хассе об эллиптических кривых.

Идея доказательства

Согласно Теорема Лефшеца о неподвижной точке, количество неподвижных точек любого морфизма ж : Икс → Икс равно сумме

${\displaystyle \sum _{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^{i}\mathrm {Tr} \left(f|_{H^{i}(X)}\right).}$

Эта формула верна для обычных топологических многообразий и обычной топологии, но неверна для большинства алгебраический топологии. Однако эта формула действительно держит для этальных когомологий (хотя доказать это не так-то просто).

Пункты Икс которые определены над F_п^п те фиксируются F^п, где F это Автоморфизм Фробениуса в характеристика п.

Этальные когомологии Бетти числа из Икс в размерах 0, 1, 2 - 1, 2г, и 1 соответственно.

Согласно всем этим,

${\displaystyle \#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=\mathrm {Tr} \left(F^{n}|_{H^{0}(X)}\right)-\mathrm {Tr} \left(F^{n}|_{H^{1}(X)}\right)+\mathrm {Tr} \left(F^{n}|_{H^{2}(X)}\right).}$

Это дает общую форму теоремы.

Утверждение об абсолютных значениях α_я является одномерной гипотезой Римана из гипотез Вейля.

Вся идея укладывается в рамки мотивы: формально [Икс] = [точка] + [строка] + [1-часть], а [1-часть] имеет что-то вроде √п точки.

Смотрите также

• Локально ациклический морфизм
• Теорема абсолютной чистоты

использованная литература

• Артин, Майкл (1962), Топологии Гротендика, Гарвардский университет, факультет математики
• Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик; Жан-Луи Вердье (ред.), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1, Конспект лекций по математике (на французском языке), 269, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag, XIX, 525
• Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик; Жан-Луи Вердье (ред.), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 2, Конспект лекций по математике (на французском языке), 270, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. iv, 418
• Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик; Жан-Луи Вердье (ред.), Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3, Конспект лекций по математике (на французском языке), 305, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. vi, 640
• Данилов, В. (2001) [1994], "Этальные когомологии", Энциклопедия математики, EMS Press
• Делинь, Пьер (1974), "Гипотеза де Вейля. Я", Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика., 43: 273–307, Дои:10.1007 / BF02684373
• Делинь, Пьер (1980), "Гипотеза Вейля: II", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 52: 137–252, Дои:10.1007 / BF02684780
• Делинь, Пьер, изд. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale (SGA 4.5}), Конспект лекций по математике (на французском языке), 569, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0091516, ISBN  978-0-387-08066-6, заархивировано из оригинал на 2009-05-15, получено 2007-03-17Глава 1: Дои: 10.1007 / BFb0091518
• И.В. Долгачев (2001) [1994], "l-адические когомологии", Энциклопедия математики, EMS Press
• Freitag, E .; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-12175-8
• Фу, лей (2011), Этальная теория когомологий. (2011), Нанкайские трактаты по математике, 13, World Scientific Publishing, Дои:10.1142/7773, ISBN  9789814307727
• Гротендик, Александр (1960), «Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий», Proc. Междунар. Congress Math. (Эдинбург, 1958 г.), Издательство Кембриджского университета, стр. 103–118, Г-Н  0130879
• Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии, Принстонская математическая серия, 33, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7, Г-Н  0559531
• Тамме, Гюнтер (1994), Введение в этальные когомологии, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-57116-2

внешняя ссылка

• Арчибальд и Савитт Этальные когомологии
• Гореский Программа Ленглендса для физиков
• Милн, Джеймс С. (1998), Лекции по этальным когомологиям
• Долгачев, И. (2001) [1994], «L-адические когомологии», Энциклопедия математики, EMS Press