Ассоциированный премьер - Associated prime

В абстрактная алгебра, связанный премьер из модуль M через кольцо р это тип главный идеал из р это возникает как аннигилятор (простого) подмодуля M. Множество связанных простых чисел обычно обозначают ${ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (M),}$ и иногда называли убийца или убийца из $M$ (игра слов между обозначениями и тем фактом, что ассоциированное простое число является аннигилятор).^[1]

В коммутативная алгебра, связанные простые числа связаны с Первичное разложение Ласкера – Нётер идеалов в коммутативном Нётерские кольца. В частности, если идеальный J раскладывается как конечное пересечение основные идеалы, то радикалы из этих основных идеалов главные идеалы, и этот набор простых идеалов совпадает с ${ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (R / J).}$ ^[2] С понятием «ассоциированных простых чисел» идеального связаны также понятия изолированные простые числа и встроенные простые числа.

Определения

Ненулевой р модуль N называется основной модуль если аннигилятор ${ Displaystyle mathrm {Ann} _ {R} (N) = mathrm {Ann} _ {R} (N ') ,}$ для любого ненулевого подмодуля N ' из N. Для простого модуля N, ${ displaystyle mathrm {Ann} _ {R} (N) ,}$ главный идеал в р.^[3]

An связанный премьер из р модуль M это идеал формы ${ displaystyle mathrm {Ann} _ {R} (N) ,}$ куда N является простым подмодулем в M. В коммутативной алгебре обычное определение другое, но эквивалентное:^[4] если р коммутативно, ассоциированное простое число п из M простой идеал вида ${ Displaystyle mathrm {Энн} _ {R} (м) ,}$ для ненулевого элемента м из M или эквивалентно ${ Displaystyle R / P}$ изоморфен подмодулю в M.

В коммутативном кольце р, минимальные элементы в ${ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (M)}$ (относительно теоретико-множественного включения) называются изолированные простые числа в то время как остальные связанные простые числа (то есть те, которые должным образом содержат связанные простые числа) называются встроенные простые числа.

Модуль называется со-первичный если хм = 0 для некоторого ненулевого м ∈ M подразумевает Икс^пM = 0 для некоторого положительного целого числа п. Ненулевой конечно порожденный модуль M над коммутативным Кольцо Нётериана является копримарным тогда и только тогда, когда с ним связано ровно одно простое число. Подмодуль N из M называется п-первичный, если ${ Displaystyle M / N}$ является одним из основных с п. Идеальный я это п-первичный идеал если и только если ${ displaystyle operatorname {Ass} _ {R} (R / I) = {P }}$ ; таким образом, это понятие является обобщением первичного идеала.

Свойства

Большинство этих свойств и утверждений приведены в (Лам 2001 ) начиная со страницы 86.

Если M ' ⊆M, тогда ${ displaystyle mathrm {Ass} _ {R} (M ') substeq mathrm {Ass} _ {R} (M).}$ Если вдобавок M ' является существенный подмодуль из M, их ассоциированные простые числа совпадают.
Возможно, даже для коммутативного локального кольца, что множество ассоциированных простых чисел конечно порожденный модуль пусто. Однако в любом кольце, удовлетворяющем условие возрастающей цепи на идеалах (например, любом правом или левом нётеровом кольце) каждому ненулевому модулю соответствует хотя бы одно простое число.
Любые унифицированный модуль имеет либо ноль, либо одно ассоциированное простое число, что делает однородные модули примером копримарных модулей.
Для одностороннего нётерова кольца существует сюръекция из множества классов изоморфизма неразложимых инъективные модули на спектр ${ displaystyle mathrm {Spec} (R).}$ Если р является Артинианское кольцо, то это отображение становится биекцией.
Теорема Матлиса: Для коммутативного нётерова кольца р, отображение классов изоморфизма неразложимых инъективных модулей в спектр является биекцией. Более того, полный набор представителей этих классов дается формулой ${ Displaystyle E (R / { mathfrak {p}}) ,}$ куда ${ Displaystyle Е (-) ,}$ обозначает инъективная оболочка и ${ Displaystyle { mathfrak {p}} ,}$ колеблется над основными идеалами р.
Для Нётерский модуль M над любым кольцом существует только конечное число ассоциированных простых чисел M.

По поводу коммутативных нётеровых колец см. Также Первичное разложение # Первичное разложение по ассоциированным простым числам.

Примеры

Если ${ Displaystyle R = mathbb {C} [х, y, z, ш]}$ ассоциированные первичные идеалы ${ Displaystyle I = ((х ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2}) cdot (z ^ {3} -w ^ {3} -3x ^ {3 }))}$ идеалы ${ displaystyle (х ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2})}$ и ${ displaystyle (z ^ {3} -w ^ {3} -3x ^ {3}).}$
Если р кольцо целых чисел, то нетривиально свободные абелевы группы и нетривиальный абелевы группы первичного порядка мощности являются со-первичными.
Если р кольцо целых чисел и M конечной абелевой группы, то ассоциированные простые числа M в точности простые числа, делящие порядок M.
Группа порядка 2 является частным целых чисел Z (рассматривается как свободный модуль над собой), но связанный с ним простой идеал (2) не является ассоциированным простым числом Z.

Заметки

^ Пикаве, Габриэль (1985). "Собственность и приложения понятия содержания". Коммуникации в алгебре. 13 (10): 2231–2265.
^ Лам 1999, п. 117, Пр. 40B.
^ Лам 1999, п. 85.
^ Лам 1999, п. 86.

использованная литература

Бурбаки, Коммутативный альгебр
Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, Г-Н 1322960
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, Г-Н 1653294
Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра

[1] Пикаве, Габриэль (1985). "Собственность и приложения понятия содержания". Коммуникации в алгебре. 13 (10): 2231–2265.

[FOOTNOTELam1999117Ex_40B-2] Лам 1999, п. 117, Пр. 40B.

[FOOTNOTELam199985-3] Лам 1999, п. 85.

[FOOTNOTELam199986-4] Лам 1999, п. 86.

[1]

[2]

[3]

[4]