Сопряженный элемент (теория поля) - Conjugate element (field theory)

Эта статья о сопряжении корней многочлена. Для использования в других целях см. Конъюгация.

В математика, особенно теория поля, то сопряженные элементы из алгебраический элемент  α, через расширение поля L/K, являются корнями минимальный многочлен п_K,α(Икс) из α над K. Сопряженные элементы также называют Конъюгаты Галуа или просто конъюгирует. Обычно α сам входит в набор конъюгатовα.

Пример

Кубические корни числа один находятся:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}}$

Последние два корня являются сопряженными элементами в Q[я√3] с минимальным полиномом

${\displaystyle \left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.}$

Характеристики

Если K дается внутри алгебраически замкнутое поле C, то конъюгаты можно принимать внутрь C. Если нет такого C задано, можно взять конъюгаты в некотором относительно небольшом поле L. Наименьший возможный выбор для L должен взять поле расщепления над K из п_K,α, содержащийα. Если L есть ли нормальное расширение из K содержащийα, то по определению он уже содержит такое поле разбиения.

Учитывая тогда нормальное расширение L из K, с группа автоморфизмов Aut (L/K) = грамм, и содержащий α, любой элемент грамм(α) за грамм в грамм будет конъюгатом α, поскольку автоморфизм грамм посылает корни п к корням п. Наоборот любое сопряженное β из α имеет такую ​​форму: другими словами, грамм действует переходно на конъюгаты. Это следует как K(α) является K-изоморфен K(β) по неприводимости минимального многочлена и любому изоморфизму полей F и F' который отображает полином п к п' продолжается до изоморфизма полей расщепления п над F и п' над F', соответственно.

Таким образом, сопряженные элементы α находятся в любом нормальном расширении L из K который содержит K(α), как набор элементов грамм(α) за грамм в Aut (L/K). Количество повторов в этом списке каждого элемента - это разделимая степень [L:K(α)]_сен.

Теорема о Кронекер заявляет, что если α ненулевой алгебраическое целое число такой, что α и все его конъюгаты в сложные числа имеют абсолютная величина не больше 1, то α это корень единства. Существуют количественные формы этого, более точно устанавливающие границы (в зависимости от степени) на наибольшее абсолютное значение сопряженного, которые подразумевают, что алгебраическое целое число является корнем из единицы.

Рекомендации

• Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра, 3-е изд., Wiley, 2004.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Сопряженные элементы». MathWorld.