ПРОП (теория категорий) - PROP (category theory)

В теория категорий, раздел математики, PROP это симметричный строгий моноидальная категория чьи объекты - натуральные числа п отождествляется с конечными множествами ${displaystyle {0,1,ldots ,n-1}}$ и тензорное произведение которого задается на объектах сложением чисел.^[1] Из-за «симметричности» для каждого п, то симметричная группа на п Буквы даны как подгруппа группа автоморфизмов из п. Название PROP - это сокращение от "PROduct and Категория перестановки ".

Это понятие было введено Адамсом и Маклейном; топологический вариант этого позже был дан Boardman и Фогт.^[2] Следуя за ними, Дж. П. Мэй затем ввел понятие «операда », Особый вид ПРОП.

Есть следующие включения полных подкатегорий:^[3]

${displaystyle {mathsf {Oper}}subset { frac {1}{2}}{mathsf {PROP}}subset {mathsf {PROP}}}$

где первая категория - это категория (симметричных) операд.

Примеры и варианты

Важно элементарный классом ПРОПов являются наборы ${displaystyle {mathcal {R}}^{ullet imes ullet }}$ из все матрицы (независимо от количества строк и столбцов) над некоторым фиксированным кольцом ${displaystyle {mathcal {R}}}$. Более конкретно, эти матрицы являются морфизмы ПРОП; объекты можно рассматривать как ${displaystyle {{mathcal {R}}^{n}}_{n=0}^{infty }}$ (наборы векторов) или просто натуральные числа (поскольку объекты не должны быть множествами с некоторой структурой). В этом примере:

• Сочинение ${displaystyle circ }$ морфизмов обычное матричное умножение.
• В морфизм идентичности объекта ${displaystyle n}$ (или же ${displaystyle {mathcal {R}}^{n}}$) это единичная матрица с боком ${displaystyle n}$.
• В товар ${displaystyle otimes }$ действует на объекты как сложение (${displaystyle motimes n=m+n}$ или же ${displaystyle {mathcal {R}}^{m}otimes {mathcal {R}}^{n}={mathcal {R}}^{m+n}}$) и на морфизмах как на операции построения блочно-диагональные матрицы: ${displaystyle alpha otimes eta ={egin{bmatrix}alpha &0�&eta end{bmatrix}}}$.
  • Таким образом, совместимость состава и продукта сводится к

    ${displaystyle (Aotimes B)circ (Cotimes D)={egin{bmatrix}A&0�&Bend{bmatrix}}circ {egin{bmatrix}C&0�&Dend{bmatrix}}={egin{bmatrix}AC&0�&BDend{bmatrix}}=(Acirc C)otimes (Bcirc D)}$.

  • В качестве крайнего случая матрицы без строк (${displaystyle 0 imes n}$ матрицы) или без столбцов (${displaystyle m imes 0}$ матрицы) разрешены, а в отношении умножения считаются нулевыми матрицами. В ${displaystyle otimes }$ идентичность ${displaystyle 0 imes 0}$ матрица.
• В перестановки в ПРОПе находятся матрицы перестановок. Таким образом левое действие перестановки на матрице (морфизм этого PROP) заключается в перестановке строк, тогда как правильное действие состоит в том, чтобы переставить столбцы.

Также существуют ПРОПы матриц, в которых продукт ${displaystyle otimes }$ это Кронекер продукт, но в этом классе PROP все матрицы должны иметь вид ${displaystyle k^{m} imes k^{n}}$ (стороны - это полномочия некоторых общих основание ${displaystyle k}$); они являются координатными аналогами соответствующих симметричных моноидальных категорий векторных пространств относительно тензорного произведения.

Дополнительные примеры PROP:

• то дискретная категория ${displaystyle mathbb {N} }$ натуральных чисел,
• категория FinSet натуральных чисел и функций между ними,
• категория Bij натуральных чисел и биекций,
• категория Inj натуральных чисел и инъекций.

Если отбросить требование «симметричность», то получится понятие PRO категория. Если «симметричный» заменить на бсовершил набег, то возникает понятие PROB категория.

• категория Bij_Тесьманатуральных чисел, снабженных группа кос B_пкак автоморфизмы каждого п (и никаких других морфизмов).

это ПРОБЛЕМА, но не ПРОП.

• то расширенная симплексная категория ${displaystyle Delta _{+}}$ натуральных чисел и функции сохранения порядка.

это пример ПРО, который даже не ПРОБ.

Алгебры ПРО

Алгебра ПРО ${displaystyle P}$ в моноидальная категория ${displaystyle C}$ это строгий моноидальный функтор из ${displaystyle P}$ к ${displaystyle C}$. Каждый ПРО ${displaystyle P}$ и категория ${displaystyle C}$ порождать категорию ${displaystyle mathrm {Alg} _{P}^{C}}$ алгебр, объектами которых являются алгебры ${displaystyle P}$ в ${displaystyle C}$ и чьи морфизмы являются естественными преобразованиями между ними.

Например:

• алгебра ${displaystyle mathbb {N} }$ это просто объект ${displaystyle C}$,
• алгебра FinSet коммутативный моноидный объект из ${displaystyle C}$,
• алгебра ${displaystyle Delta }$ это моноидный объект в ${displaystyle C}$.

Точнее, то, что мы здесь подразумеваем под «алгебрами ${displaystyle Delta }$ в ${displaystyle C}$ моноидальные объекты в ${displaystyle C}$"например, что категория алгебр ${displaystyle P}$ в ${displaystyle C}$ является эквивалент к категории моноидов в ${displaystyle C}$.

Смотрите также

• Теория Ловера
• Категория перестановки

Рекомендации

1. MacLane, Гл. V, § 24. Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMacLane (помощь)
2. Boardman, J. M .; Фогт, Р. М. Гомотопические H -пространства. Бык. Амер. Математика. Soc. 74 (1968), нет. 6, 1117–1122.
3. Markl, стр.45 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFMarkl (помощь)

• Сондерс Маклейн (1965). «Категориальная алгебра». Бюллетень Американского математического общества. 71: 40–106. Дои:10.1090 / S0002-9904-1965-11234-4.
• Мартин Маркл, Стив Шнидер, Джим Сташефф (2002). Операды в алгебре, топологии и физике. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4362-8.
• Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории. Издательство Кембриджского университета. arXiv:математика / 0305049. Bibcode:2004hohc.book ..... L.