Группа автоморфизмов - Automorphism group - Wikipedia

В математика, то группа автоморфизмов объекта Икс это группа состоящий из автоморфизмы из Икс. Например, если Икс это конечномерный векторное пространство, то группа автоморфизмов Икс это общая линейная группа из Икс, группа обратимых линейные преобразования из Икс себе.

Особенно в геометрическом контексте группу автоморфизмов также называют группа симметрии. Подгруппа группы автоморфизмов называется группа трансформации (особенно в старой литературе).

Примеры

• Группа автоморфизмов набор Икс это именно симметричная группа из Икс.
• А групповой гомоморфизм группе автоморфизмов множества Икс составляет групповое действие на Икс: действительно, каждый левый грамм-действие на съемочной площадке Икс определяет ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$, и, наоборот, каждый гомоморфизм ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$ определяет действие ${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$.
• Позволять ${\displaystyle A,B}$ два конечных набора одинаковых мощность и ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ набор всех биекции ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$. потом ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$, являющаяся симметрической группой (см. выше), действует на ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ слева свободно и переходно; то есть, ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ это торсор за ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ (ср. # В теории категорий ).
• Группа автоморфизмов ${\displaystyle G}$ конечного циклическая группа из порядок п является изоморфный к ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ с изоморфизмом, задаваемым ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$.^[1] Особенно, ${\displaystyle G}$ является абелева группа.
• Учитывая расширение поля ${\displaystyle L/K}$, его группа автоморфизмов - это группа, состоящая из полевых автоморфизмов L который исправить K: он более известен как Группа Галуа из ${\displaystyle L/K}$.
• Группа автоморфизмов проективный п-Космос через поле k это проективная линейная группа ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$^[2]
• Группа автоморфизмов конечномерного вещественного Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ имеет структуру (реального) Группа Ли (на самом деле это даже линейная алгебраическая группа: Смотри ниже). Если грамм группа Ли с алгеброй Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, то группа автоморфизмов грамм имеет структуру группы Ли, индуцированную структурой группы автоморфизмов ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.^[3][4]
• Позволять п быть конечно порожденный проективный модуль через звенеть р. Тогда есть встраивание ${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$, уникальный до внутренние автоморфизмы.^[5]

В теории категорий

Группы автоморфизмов очень естественно появляются в теория категорий.

Если Икс является объект в категории, то группа автоморфизмов Икс группа, состоящая из всех обратимых морфизмы из Икс себе. Это группа единиц из моноид эндоморфизма из Икс. (Для некоторых примеров см. PROP.)

Если ${\displaystyle A,B}$ объекты в некоторой категории, то множество ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ из всех ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ левый ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$-торсор. На практике это говорит о том, что иной выбор базовой точки ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ однозначно отличается элементом ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$, или что каждый выбор базовой точки - это в точности выбор тривиализации торсора.

Если ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ объекты в категориях ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$, и если ${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$ это функтор отображение ${\displaystyle X_{1}}$ к ${\displaystyle X_{2}}$, тогда ${\displaystyle F}$ индуцирует групповой гомоморфизм ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$, поскольку он отображает обратимые морфизмы в обратимые морфизмы.

В частности, если грамм группа рассматривается как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если грамм является группоидом, то каждый функтор ${\displaystyle G\to C}$, C категория, называется действием или представлением грамм на объекте ${\displaystyle F(*)}$, или объекты ${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$. Затем эти объекты называются ${\displaystyle G}$-объекты (как они действуют ${\displaystyle G}$); ср. ${\displaystyle \mathbb {S} }$-объект. Если ${\displaystyle C}$ является категорией модулей наподобие категории конечномерных векторных пространств, то ${\displaystyle G}$-объекты также называют ${\displaystyle G}$-модули.

Функтор группы автоморфизмов

Позволять ${\displaystyle M}$ - конечномерное векторное пространство над полем k который снабжен некоторой алгебраической структурой (т. е. M является конечномерным алгебра над k). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или Алгебра Ли.

Теперь рассмотрим k-линейные карты ${\displaystyle M\to M}$ сохраняющие алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ из ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$. Единичная группа ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ группа автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$. Когда на основе M выбран, ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ это пространство квадратные матрицы и ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ является нулевым набором некоторых полиномиальные уравнения, и обратимость снова описывается многочленами. Следовательно, ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$ это линейная алгебраическая группа над k.

Теперь базовые расширения, примененные к вышеупомянутому обсуждению, определяют функтор:^[6] а именно для каждого коммутативное кольцо р над kрассмотрим р-линейные карты ${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$ сохраняя алгебраическую структуру: обозначим ее через ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$. Тогда группа единиц кольца матриц ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ над р группа автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ и ${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ это групповой функтор: функтор от категория коммутативных колец над k к категория групп. Более того, она представлена ​​схемой (поскольку группы автоморфизмов задаются многочленами): эта схема называется схемой схема группы автоморфизмов и обозначается ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$.

Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.

Смотрите также

• Группа внешних автоморфизмов
• Структура уровней, трюк, чтобы убить группу автоморфизмов
• Группа голономии

Рекомендации

1. Даммит и Фут 2004, П. 2.3. Упражнение 26.
2. Хартсхорн 1977, Гл. II, Пример 7.1.1.
3. Хохшильд, Г. (1952). «Группа автоморфизмов группы Ли». Труды Американского математического общества. 72 (2): 209–216. JSTOR  1990752.
4. (следующий Фултон и Харрис 1991, Упражнение 8.28.) Во-первых, если грамм односвязно, группа автоморфизмов грамм это из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Во-вторых, любая связная группа Ли имеет вид ${\displaystyle {\widetilde {G}}/C}$ куда ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ является односвязной группой Ли и C центральная подгруппа и группа автоморфизмов группы грамм группа автоморфизмов ${\displaystyle G}$ что сохраняет C. В-третьих, по соглашению группа Ли является второй счетной и имеет не более чем потенциально много компонент связности; таким образом, общий случай сводится к связному.
5. Милнор 1971, Лемма 3.2.
6. Уотерхаус 2012, § 7.6.

• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Wiley. ISBN  978-0-471-43334-7.
• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157
• Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию. Анналы математических исследований. 72. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  9780691081014. МИСТЕР  0349811. Zbl  0237.18005.
• Уотерхаус, Уильям С. (2012) [1979]. Введение в схемы аффинных групп. Тексты для выпускников по математике. 66. Springer Verlag. ISBN  9781461262176.

внешняя ссылка

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme