Относительно гиперболическая группа - Relatively hyperbolic group

В математика, концепция относительно гиперболическая группа является важным обобщением геометрическая теория групп концепция гиперболическая группа. Мотивирующими примерами относительно гиперболических групп являются фундаментальные группы из полный некомпактный гиперболические многообразия конечного объема.

Интуитивное определение

А группа грамм является относительно гиперболический по отношению к подгруппа ЧАС если после заключения договора Граф Кэли из грамм вдоль ЧАС-смежные классы, получившийся граф с обычной метрикой графа становится δ-гиперболическое пространство и, более того, он удовлетворяет техническому условию, которое подразумевает, что квазигеодезические с общими конечными точками проходят примерно через один и тот же набор смежных классов и входят и выходят из этих смежных классов примерно в одном и том же месте.

Формальное определение

Учитывая конечно порожденная группа грамм с графом Кэли Γ(грамм) с метрикой пути и подгруппой ЧАС из грамм, можно построить конус графа Кэли ${displaystyle {hat {Gamma }}(G,H)}$ следующим образом: Для каждого левого смежного класса gH, добавляем вершину v(gH) графу Кэли Γ(грамм) и для каждого элемента Икс из gH, добавить край е(Икс) длины 1/2 от Икс к вершине v(gH). Это приводит к метрическому пространству, которое может не быть правильный (т.е. закрытые шары не обязательно должны быть компактными).

Определение относительно гиперболической группы, сформулированное Bowditch идет следующим образом. Группа грамм как говорят гиперболический относительно подгруппы ЧАС если конус графа Кэли ${displaystyle {hat {Gamma }}(G,H)}$ имеет свойства:

• это δ-гиперболический и
• это отлично: для каждого целого L каждое ребро принадлежит только конечному числу простых циклов длины L.

Если выполняется только первое условие, то группа грамм называется слабо относительно гиперболическим относительно ЧАС.

Определение конуса графа Кэли может быть обобщено на случай набора подгрупп и дает соответствующее понятие относительной гиперболичности. Группа грамм который не содержит набора подгрупп, относительно которых он является относительно гиперболическим, называется не относительно гиперболической группой.

Характеристики

• Если группа грамм относительно гиперболичен относительно гиперболической группы ЧАС, тогда грамм сам по себе гиперболический.

Примеры

• Любой гиперболическая группа, например свободная группа конечного ранга или фундаментальная группа гиперболической поверхности гиперболична относительно тривиальной подгруппы.
• Фундаментальная группа полный гиперболическое многообразие конечного объема гиперболичен относительно своего подгруппа куспида. Аналогичный результат верен для любого полного конечного объема Риманово многообразие с зажатым негативом секционная кривизна.
• В свободная абелева группа Z² ранга 2 слабо гиперболичен, но не гиперболичен относительно циклической подгруппы Z: хотя график ${displaystyle {hat {Gamma }}(mathbb {Z} ^{2},mathbb {Z} )}$ гиперболично, это не нормально.
• В группа классов отображения ориентируемого конечного типа поверхность является либо гиперболическим (когда 3грамм+п<5, где грамм это род и п количество проколов) или не является относительно гиперболическим.
• В группа автоморфизмов и внешний автоморфизм группы свободной группы конечного ранга не менее 3 не являются относительно гиперболическими.

Рекомендации

• Михаил Громов, Гиперболические группы, Очерки теории групп, Матем. Sci. Res. Inst. Publ., 8, 75-263, Springer, New York, 1987.
• Денис Осин, Относительно гиперболические группы: внутренняя геометрия, алгебраические свойства и алгоритмические проблемы, arXiv: math / 0404040v1 (math.GR), апрель 2004 г.
• Бенсон Фарб, Относительно гиперболические группы, Геом. Функц. Анальный. 8 (1998), 810–840.
• Джейсон Берсток, Корнелия Другу, Ли Мошер, Толстые метрические пространства, относительная гиперболичность и квазиизометрическая жесткость, arXiv: math / 0512592v5 (math.GT), декабрь 2005 г.
• Дэниел Гроувс и Джейсон Фокс Мэннинг, Заполнение Дена относительно гиперболических групп, arXiv: math / 0601311v4 [math.GR], январь 2007 г.