Адаптивная оценка - Adaptive estimator

В статистика, адаптивная оценка является оценщик в параметрический или полупараметрический модель с мешающие параметры таким образом, что наличие этих мешающих параметров не влияет на эффективность оценки.

Определение

Формально пусть параметр θ в параметрической модели состоит из двух частей: интересующий параметр ν ∈ N ⊆ р^k, а мешающий параметр η ∈ ЧАС ⊆ р^м. Таким образом θ = (ν, η) ∈ N × H ⊆ р^{к + м}. Тогда мы скажем, что ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\nu }}_{n}}$ является адаптивная оценка из ν в присутствии η если эта оценка регулярный, и эффективен для каждой из подмоделей^[1]

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\nu }(\eta _{0})={\big \{}P_{\theta }:\nu \in N,\,\eta =\eta _{0}{\big \}}.}$

Адаптивная оценка одинаково хорошо оценивает интересующий параметр независимо от того, известно значение мешающего параметра или нет.

Необходимое условие для регулярная параметрическая модель иметь адаптивную оценку - это то, что

${\displaystyle I_{\nu \eta }(\theta )=\operatorname {E} [\,z_{\nu }z_{\eta }'\,]=0\quad {\text{for all }}\theta ,}$

где z_ν и z_η компоненты функция оценки соответствующие параметрам ν и η соответственно, и таким образом я_νη это верхний правый к × м блок Информационная матрица Фишера я(θ).

пример

Предположим ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}$ это нормальный семья в масштабе местности:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}}\ {\Big |}\ \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

Тогда обычная оценка ${\displaystyle {\hat {\mu }}\,=\,{\bar {x}}}$ является адаптивным: мы можем одинаково хорошо оценить среднее значение независимо от того, знаем мы дисперсию или нет.

Заметки

1. Бикель 1998, Определение 2.4.1

Основные ссылки

• Бикель, Питер Дж .; Крис А.Дж. Клаассен; Яаков Ритов; Джон А. Веллнер (1998). Эффективное и адаптивное оценивание полупараметрических моделей. Спрингер: Нью-Йорк. ISBN  978-0-387-98473-5.

Другие полезные ссылки

• И. В. Благушин и Э. Моро: "Несмещенные адаптивные оценки кумулянта четвертого порядка для реального случайного сигнала с нулевым средним", Транзакции IEEE при обработке сигналов, т. 57, нет. 9. С. 3330–3346, сентябрь 2009 г.