Алгебра Акивиса - Akivis algebra - Wikipedia

В математика, и в частности изучение алгебра, Алгебра Акивиса это неассоциативная алгебра оснащенный бинарным оператором, коммутатор ${\displaystyle [x,y]}$ и тернарный оператор, ассоциатор ${\displaystyle [x,y,z]}$ которые удовлетворяют определенным отношениям, известным как личность Акивиса. Они названы в честь русского математика Макса А. Акивиса.

Формально, если ${\displaystyle A}$ это векторное пространство над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$ из характеристика ноль, мы говорим ${\displaystyle A}$ является Алгебра Акивиса если операция ${\displaystyle \left(x,y\right)\mapsto \left[x,y\right]}$ билинейно и антикоммутативный; и трилинейный оператор ${\displaystyle \left(x,y,z\right)\mapsto \left[x,y,z\right]}$ удовлетворяет Акивис личность:

${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z\right]+\left[\left[y,z\right],x\right]+\left[\left[z,x\right],y\right]=\left[x,y,z\right]+\left[y,z,x\right]+\left[z,x,y\right]-\left[x,z,y\right]-\left[y,x,z\right]-\left[z,y,x\right].}$

Алгебра Акивиса с ${\displaystyle \left[x,y,z\right]=0}$ это Алгебра Ли, поскольку тождество Акивиса сводится к Личность Якоби. Обратите внимание, что члены в правой части имеют положительный знак для четных перестановок и отрицательный знак для нечетных перестановок ${\displaystyle x,y,z}$.

Любая алгебра (даже если она неассоциативна) является алгеброй Акивиса, если мы определим ${\displaystyle \left[x,y\right]=xy-yx}$ и ${\displaystyle \left[x,y,z\right]=(xy)z-x(yz)}$. Известно, что таким образом все алгебры Акивиса могут быть представлены как подалгебра (возможно, неассоциативной) алгебры (для ассоциативных алгебр ассоциатор тождественно равен нулю, а тождество Акивиса сводится к тождеству Якоби).

Рекомендации

• М. Р. Бремнер, И. Р. Хентцель и Л. А. Переси 2005. "Формулы размерности для свободной неассоциативной алгебры". Коммуникации в алгебре 33:4063-4081.