Последовательность Алкуина - Alcuins sequence - Wikipedia

В математика, Последовательность Алкуина, названный в честь Алкуин Йоркский, - последовательность коэффициентов разложения в степенной ряд:^[1]

${\displaystyle {\frac {x^{3}}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=x^{3}+x^{5}+x^{6}+2x^{7}+x^{8}+3x^{9}+\cdots .}$

Последовательность начинается с этих целых чисел:

0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21 (последовательность A005044 в OEIS )

В пth член - это количество треугольники с целыми сторонами и периметрп.^[1] Это также количество треугольников с отчетливый целые стороны и периметр п + 6, то есть количество троек (а, б, c) такое, что 1 ≤а < б < c < а + б, а + б + c = п + 6.

Если удалить три ведущих нуля, то это будет количество способов, которыми п пустые бочки, п бочки наполовину полны вина и п полные бочки могут быть распределены между тремя людьми таким образом, чтобы каждый получил одинаковое количество бочек и одинаковое количество вина. Это обобщение проблемы 12 из Propositiones ad Acuendos Juvenes («Проблемы обострения молодых») обычно приписывают Алкуину. Эта проблема представлена ​​как,

Задача 12: Некий отец умер и оставил в наследство своим трем сыновьям 30 стеклянных фляг, из которых 10 были полны масла, еще 10 были наполовину полны, а еще 10 были пусты. Разделите масло и фляги так, чтобы равная доля товаров равным образом досталась трем сыновьям масла и стекла.^[2]

Термин «последовательность Алкуина» восходит к книге Д. Оливастро 1993 года о математических играх. Древняя головоломка: классические головоломки и другие вечные математические игры последних 10 веков (Бантам, Нью-Йорк).^[3]

Последовательность с удаленными тремя ведущими нулями получается как последовательность коэффициентов разложения в ряд по степеням^[4][5]

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})}}=1+x^{2}+x^{3}+2x^{4}+x^{5}+3x^{6}+\cdots .}$

Эта последовательность также была названа некоторыми авторами последовательностью Алкуина.^[5]

Рекомендации

1. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A005044 (последовательность Алкуина)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
2. Проблемы обострения молодых, Джон Хэдли и Дэвид Сингмастер, Математический вестник, 76, # 475 (март 1992 г.), стр. 109
3. Биндер, Дональд Дж .; Эриксон, Мартин (2012), «Последовательность Алкуина», Американский математический ежемесячный журнал, 119 (2): 115–121, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.119.02.115
4. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A266755». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.
5. Вайсштейн, Эрик В. "Последовательность Алкуина". MathWorld.