Алексевич норма - Alexiewicz norm - Wikipedia

В математика - в частности, в теория интеграции - в Алексевич норма является интегральным норма связаны с Интеграл Хенстока – Курцвейла. Норма Алексевича превращает пространство интегрируемых функций Хенстока – Курцвейла в топологическое векторное пространство то есть ствол но нет полный. Норма Алексевича названа в честь Польский математик Анджей Алексеевич, который представил его в 1948 году.

Определение

Пусть HK (р) обозначают пространство всех функций ж: р → р которые имеют конечный интеграл Хенстока – Курцвейла. Определить Алексиевич полунорма из ж ∈ HK (р) к

${\displaystyle \|f\|:=\sup \left\{\left|\int _{I}f\right|:I\subseteq \mathbb {R} {\text{ is an interval}}\right\}.}$

Это определяет полунорма на HK (р); если функции, которые равны Лебег -почти всюду идентифицированы, то эта процедура определяет добросовестный норма на частное Гонконга (р) посредством отношение эквивалентности равенства почти везде. (Обратите внимание, что единственная постоянная функция ж: р → р интегрируемым является тот, у которого постоянное значение равно нулю.)

Характеристики

• Норма Алексевича наделяет HK (р) с топологией, которая является бочковой, но неполной.
• Норма Алексевича, как определено выше, равна эквивалент к норме, определенной

${\displaystyle \|f\|':=\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\int _{-\infty }^{x}f\right|.}$

• В завершение Гонконга (р) относительно нормы Алексевича часто обозначают A (р) и является подпространством пространства умеренные распределения, двойник Пространство Шварца. Точнее, A (р) состоит из умеренных распределений, которые производные от распределения функций в коллекции

${\displaystyle \left\{F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\left|\,F{\text{ is continuous, }}\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\lim _{x\to +\infty }F(x)\in \mathbb {R} \right.\right\}.}$

Следовательно, если ж ∈ A (р), тогда ж является умеренным распределением и существует непрерывная функция F в приведенной выше коллекции так, что

${\displaystyle \langle F',\varphi \rangle =-\langle F,\varphi '\rangle =-\int _{-\infty }^{+\infty }F\varphi '=\langle f,\varphi \rangle }$

для каждого компактно поддерживается C^∞ функция тестирования φ: р → р. В этом случае верно, что

${\displaystyle \|f\|'=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F(x)|=\|F\|_{\infty }.}$

• Оператор сдвига непрерывен относительно нормы Алексевича. То есть, если для ж ∈ HK (р) и Икс ∈ р перевод Т_Иксж из ж к Икс определяется

${\displaystyle (T_{x}f)(y):=f(y-x),}$

тогда

${\displaystyle \|T_{x}f-f\|\to 0{\text{ as }}x\to 0.}$

Рекомендации

• Алексевич, Анджей (1948). «Линейные функционалы от функций, интегрируемых по Данжуа». Коллоквиум по математике. 1: 289–293. МИСТЕР  0030120.
• Талвила, Эрик (2006). «Преемственность в норме Алексевича». Математика. Богема. 131 (2): 189–196. ISSN  0862-7959. МИСТЕР  2242844.