Аналитический потенциал - Analytic capacity

В математической дисциплине комплексный анализ, то аналитическая способность из компактное подмножество K из комплексная плоскость это число, которое обозначает "насколько большой" ограниченный аналитическая функция на C \ K может стать. Грубо говоря, γ(K) измеряет размер единичного шара пространства ограниченных аналитических функций вне K.

Впервые он был представлен Альфорс в 1940-е годы при изучении возможности удаления особенности ограниченных аналитических функций.

Определение

Позволять K ⊂ C быть компактный. Тогда его аналитическая емкость определяется как

${\displaystyle \gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|;\ f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K),\ \|f\|_{\infty }\leq 1,\ f(\infty )=0\}}$

Здесь, ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\infty }(U)}$ обозначает набор ограниченный аналитический функции U → C, в любое время U является открыто подмножество комплексная плоскость. Дальше,

${\displaystyle f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }z\left(f(z)-f(\infty )\right)}$

${\displaystyle f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }f(z)}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle f'(\infty )=g'(0)}$, куда ${\displaystyle g(z)=f(1/z)}$. Однако обычно ${\displaystyle f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }f'(z)}$.

Если А ⊂ C - произвольное множество, то определим

${\displaystyle \gamma (A)=\sup\{\gamma (K):K\subset A,\,K{\text{ compact}}\}.}$

Съемные множества и проблема Пенлеве

Компактный набор K называется съемный если, если Ω - открытое множество, содержащее K, любая функция, ограниченная и голоморфная на множестве Ω K имеет аналитическое продолжение на все Ω. К Теорема Римана об устранимых особенностях, каждый одиночка съемный. Это побудило Пенлеве в 1880 г. задать более общий вопрос: «Какие подмножества C съемные? "

Легко заметить, что K снимается тогда и только тогда, когда γ(K) = 0. Однако аналитическая способность - это чисто комплексно-аналитическое понятие, и необходимо проделать гораздо больше работы, чтобы получить более геометрическую характеристику.

Функция Альфорса

Для каждого компакта K ⊂ C, существует единственная экстремальная функция, т. е. ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbf {C} \setminus K)}$ такой, что ${\displaystyle \|f\|\leq 1}$, ж(∞) = 0 и f ′(∞) = γ(K). Эта функция называется Функция Альфорса из K. Его существование может быть доказано с помощью нормального семейного аргумента, включающего Теорема Монтеля.

Аналитическая емкость с точки зрения размерности Хаусдорфа

Пусть тусклый_ЧАС обозначать Хаусдорфово измерение и ЧАС¹ обозначим 1-мерный Мера Хаусдорфа. потом ЧАС¹(K) = 0 влечет γ(K) = 0 пока тусклый_ЧАС(K)> 1 гарантии γ(K)> 0. Однако в случае dim_ЧАС(K) = 1 и ЧАС¹(K) ∈ (0, ∞] сложнее.

Положительная длина, но нулевая аналитическая способность

Учитывая частичное соответствие между одномерной мерой Хаусдорфа компактного подмножества C и его аналитическую способность, можно предположить, что γ(K) = 0 влечет ЧАС¹(K) = 0. Однако это предположение неверно. Контрпример был впервые приведен Витушкин А.Г., и более простой Джон Б. Гарнетт в его статье 1970 года. Последний пример - линейный четырехугольный набор Кантора, построенный следующим образом:

Позволять K₀ : = [0, 1] × [0, 1] - единичный квадрат. Потом, K₁ представляет собой объединение 4 квадратов со стороной 1/4, и эти квадраты расположены в углах K₀. В целом, K_п это объединение 4^п квадраты (обозначаются ${\displaystyle Q_{n}^{j}}$) длины стороны 4^−п, каждый ${\displaystyle Q_{n}^{j}}$ находясь в углу некоторых ${\displaystyle Q_{n-1}^{k}}$. Брать K быть пересечением всех K_п тогда ${\displaystyle H^{1}(K)={\sqrt {2}}}$ но γ(K) = 0.

Гипотеза Витушкина

Позволять K ⊂ C компактное множество. Гипотеза Витушкина утверждает, что

${\displaystyle \gamma (K)=0\ \iff \ \int _{0}^{\pi }{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }(K))\,d\theta =0}$

куда ${\displaystyle \operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta }$ обозначает ортогональную проекцию в направлении θ. Согласно описанным выше результатам гипотеза Витушкина верна при слабом_ЧАСK ≠ 1.

Гай Дэвид опубликовал в 1998 г. доказательство гипотезы Витушкина для случая dim_ЧАСK = 1 и ЧАС¹(K) <∞. В 2002, Ксавье Толса доказано, что аналитическая емкость счетно полуаддитивна. То есть существует абсолютная постоянная C > 0 такое, что если K ⊂ C компактное множество и ${\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$, где каждый K_я борелевское множество, то ${\displaystyle \gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }\gamma (K_{i})}$.

Вместе теоремы Давида и Толсы означают, что гипотеза Витушкина верна, когда K является ЧАС¹-сигма-конечный. Тем не менее, гипотеза остается открытой. K которые одномерны и не ЧАС¹-сигма-конечный.

Рекомендации

• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-65595-1.
• Пажо, Эрве (2002). Аналитическая емкость, выпрямляемость, кривизна Менгера и интеграл Коши. Конспект лекций по математике. Springer-Verlag.
• Дж. Гарнетт, Положительная длина, но нулевая аналитическая емкость, Proc. Амер. Математика. Soc. 21 (1970), 696–699
• Г. Дэвид, Неспрямляемые 1-множества имеют исчезающую аналитическую емкость, Rev. Math. Ибероам. 14 (1998) 269–479
• Дудзяк, Джеймс Дж. (2010). Гипотеза Витушкина для съемных множеств.. Universitext. Springer-Verlag. ISBN  978-14419-6708-4.
• Толса, Ксавьер (2014). Аналитическая емкость, преобразование Коши и неоднородная теория Кальдерона – Зигмунда.. Успехи в математике. Birkhäuser Basel. ISBN  978-3-319-00595-9.