Теорема о кольце - Annulus theorem

В математике кольцевая теорема (ранее назывался гипотеза о кольце) примерно заявляет, что область между двумя сферами с хорошим поведением является кольцо. Это тесно связано с гипотеза стабильного гомеоморфизма (теперь доказано), утверждающее, что всякий сохраняющий ориентацию гомеоморфизм евклидова пространства устойчив.

Заявление

Если S и Т топологические сферы в евклидовом пространстве, причем S содержалась в Т, то в общем случае неверно, что область между ними кольцо, из-за существования дикие сферы размером не менее 3. Таким образом, необходимо сформулировать теорему о кольце, чтобы исключить эти примеры, добавив некоторые условия, гарантирующие, что S и Т хорошо себя ведут. Есть несколько способов сделать это.

Теорема о кольце утверждает, что если любой гомеоморфизм час из р^п себе отображает единичный шар B в его интерьер, затем B − час(интерьер (B)) гомеоморфно кольцу S^п−1×[0,1].

История доказательства

Теорема о кольце тривиальна в размерностях 0 и 1. В размерности 2 она была доказана Радо (1924), в размерности 3 на Моисе (1952), в размерности 4 на Куинн (1982), а размером не менее 5 на Кирби (1969).

Гипотеза стабильного гомеоморфизма

Гомеоморфизм р^п называется стабильный если это произведение гомеоморфизмов, каждый из которых является тождеством на некотором непустом открытом множестве. В гипотеза стабильного гомеоморфизма утверждает, что всякий сохраняющий ориентацию гомеоморфизм р^п стабильно. Браун и Глюк (1964) Ранее было показано, что гипотеза стабильного гомеоморфизма эквивалентна гипотезе о кольце, поэтому она верна.

Рекомендации

• Браун, Мортон; Глюк, Герман (1964), "Стабильные структуры на многообразиях. II. Стабильные многообразия", Анналы математики, Вторая серия, 79: 18–44, Дои:10.2307/1970481, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970482, МИСТЕР  0158383
• Эдвардс, Роберт Д. (1984), "Решение гипотезы о 4-мерном кольце (по Фрэнку Куинну)", Теория четырех многообразий (Дарем, Н.Х., 1982), Contemp. Математика, 35, Providence, R.I .: Amer. Математика. Soc., Стр. 211–264, Дои:10.1090 / conm / 035/780581, МИСТЕР  0780581
• Кирби, Робион С. (1969), "Стабильные гомеоморфизмы и гипотеза о кольце", Анналы математики, Вторая серия, 89: 575–582, Дои:10.2307/1970652, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970652, МИСТЕР  0242165
• Мойз, Эдвин Э. (1952), "Аффинные структуры в трехмерных многообразиях. V. Теорема триангуляции и Hauptvermutung", Анналы математики, Вторая серия, 56: 96–114, Дои:10.2307/1969769, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969769, МИСТЕР  0048805
• Куинн, Фрэнк (1982), «Концы карт. III. Размеры 4 и 5», Журнал дифференциальной геометрии, 17 (3): 503–521, ISSN  0022-040X, МИСТЕР  0679069
• Радо, Т. (1924), "Uber den Begriff der Riemannschen Fläche", Acta Univ. Сегед, 2: 101–121