Макс - Arg max

Например, ненормализованные и нормализованные грех функции выше имеют arg max из {0}, поскольку оба достигают своего глобального максимального значения 1 при Икс = 0.

Ненормализованная функция sinc (красный) имеет аргумент мин из {-4,49, 4,49}, приблизительно, потому что он имеет 2 глобальных минимальных значения примерно -0,217 при Икс = ± 4,49. Однако нормализованная функция sinc (синий) имеет аргумент мин из {−1,43, 1,43}, приблизительно, потому что их глобальные минимумы происходят в Икс = ± 1,43, хотя минимальное значение такое же.^[1]

В математика, то аргументы максимума (сокращенно arg max или же argmax) - точки, или элементы, из домен некоторых функция при котором значения функции равны максимизированный.^{[примечание 1]} В отличие от глобальные максимумы, что относится к крупнейшим выходы функции, arg max относится к входы, или же аргументы, при котором выходы функции максимально велики.

Определение

Учитывая произвольную набор Икс, а полностью заказанный набор Y, а функция ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$, arg max по некоторому подмножеству, S, из Икс определяется

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\mid x\in S\wedge \forall y\in S:f(y)\leq f(x)\}.}$

Если S = Икс или же S ясно из контекста, то S часто не учитывается, как в ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\mid \forall y:f(y)\leq f(x)\}.}$ Другими словами, arg max - это набор очков, Икс, для которого ж(Икс) достигает наибольшего значения функции (если оно существует). Arg max может быть пустой набор, а одиночка, или содержать несколько элементов. Например, если ж(Икс) равно 1− |Икс|, тогда ж достигает максимального значения 1 только в точке Икс = 0. Таким образом,

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}}$.

В arg max оператор отличается от Максимум оператор. В Максимум при задании той же функции оператор возвращает максимальное значение функции вместо точка или точки которые заставляют эту функцию достигать этого значения; другими словами

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$ это элемент в ${\displaystyle \{f(x)\mid \forall y:f(y)\leq f(x)\}.}$

Как и arg max, max может быть пустым набором (в этом случае максимум не определен) или одиночным, но в отличие от arg max, max может не содержать несколько элементов:^{[заметка 2]} например, если ж(Икс) является 4Икс² − Икс⁴, тогда ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\}}$, но ${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$ потому что функция достигает одного и того же значения в каждом элементе arg max.

Эквивалентно, если M это максимум ж, то arg max - это набор уровней от максимума:

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x\mid f(x)=M\}=:f^{-1}(M)}$

Мы можем переставить, чтобы дать простую идентичность^{[заметка 3]}

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x)}$.

Если максимум достигается в одной точке, то эту точку часто называют то arg max, а arg max считается точкой, а не набором точек. Так, например,

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

(а не одиночка установить {5}), поскольку максимальное значение Икс(10 − Икс) равно 25, что происходит для Икс = 5.^{[примечание 4]} Однако, если максимум достигается во многих точках, arg max необходимо рассматривать как набор очков.

Например

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

поскольку максимальное значение cos (Икс) равно 1, что встречается на этом интервале при Икс = 0, 2π или 4π. По всей реальной линии

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{2k\pi :k\in \mathbb {Z} \}}$, так что бесконечное множество.

Функции, как правило, не должны достигать максимального значения, и поэтому arg max иногда является пустой набор; Например, ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\emptyset }$, поскольку ${\displaystyle x^{3}}$ является неограниченный на реальной линии. Другой пример: ${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\emptyset }$, несмотря на то что дуговый загар ограничена величиной ± π / 2. Однако по теорема об экстремальном значении, непрерывная вещественнозначная функция на закрытый интервал имеет максимум и, следовательно, непустой аргумент max.

Arg мин

аргумент мин (или же аргмин) означает аргумент минимума, и определяется аналогично. Например,

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S\mid \forall y\in S:f(y)\geq f(x)\}}$

точки Икс для которого ж(Икс) достигает наименьшего значения. Это дополнительный оператор ${\displaystyle \operatorname {arg\,max} }$.

Смотрите также

• Аргумент функции
• Максимумы и минимумы
• Режим (статистика)
• Математическая оптимизация
• Ядро (линейная алгебра)
• Прообраз

Примечания

1. Для наглядности обратимся к вводу (Икс) в качестве точки и выход (у) в качестве значения; сравнивать критическая точка и критическое значение.
2. Из-за антисимметрия при ≤ функция может иметь не более одного максимального значения.
3. Это идентичность между множествами, в частности, между подмножествами Y.
4. Обратите внимание, что ${\displaystyle x(10-x)=25-(x-5)^{2}\leq 25}$ с равенством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x-5=0}$.

Рекомендации

1. "Ненормализованная функция Sinc В архиве 2017-02-15 в Wayback Machine ", Сиднейский университет

внешняя ссылка

• arg min и arg max в PlanetMath.org.