Матрица стрелки - Arrowhead matrix

в математический поле линейная алгебра, матрица стрелок это квадратная матрица содержащие нули во всех записях, кроме первой строки, первого столбца и главной диагонали, эти записи могут быть любым числом.^[1][2] Другими словами, матрица имеет вид

${displaystyle A={egin{bmatrix},!*&*&*&*&*,!*&*&0&0&0,!*&0&*&0&0,!*&0&0&*&0,!*&0&0&0&*end{bmatrix}}.}$

Любая симметричная перестановка матрицы стрелки, ${displaystyle P^{T}AP}$, где п это матрица перестановок, это (переставленная) матрица стрелок. Реальные симметричные матрицы стрелок используются в некоторых алгоритмах нахождения собственные значения и собственные векторы.^[3]

Реальные симметричные матрицы стрелок

Позволять А - вещественная симметричная (переставленная) матрица стрелок вида

${displaystyle A=left[{egin{array}{cc}D&zz^{T}&alpha end{array}}ight],}$

где ${displaystyle D=mathop {mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},ldots ,d_{n-1})}$ диагональная матрица порядка п-1,

${displaystyle z={egin{bmatrix}zeta _{1}&zeta _{2}&cdots &zeta _{n-1}end{bmatrix}}^{T}}$ вектор и ${displaystyle alpha }$ является скаляром. Позволять

${displaystyle A=VLambda V^{T}}$

быть разложение на собственные значения из А, где ${displaystyle Lambda =mathop {mathrm {diag} } (lambda _{1},lambda _{2},ldots ,lambda _{n})}$

- диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения из А, и${displaystyle V={egin{bmatrix}v_{1}&cdots &v_{n}end{bmatrix}}}$

ортонормированная матрица, столбцы которой являются соответствующими собственные векторы. Имеет место следующее:

• Если ${displaystyle zeta _{i}=0}$ для некоторых я, то пара ${displaystyle (d_{i},e_{i})}$, где ${displaystyle e_{i}}$ это я-го стандартная основа вектор, является собственной парой А. Таким образом, все такие строки и столбцы можно удалить, оставив в матрице все ${displaystyle zeta _{i}eq 0}$.
• В Теорема Коши о переплетении означает, что отсортированные собственные значения А чередовать отсортированные элементы ${displaystyle d_{i}}$: если ${displaystyle d_{1}geq d_{2}geq cdots geq d_{n-1}}$ (этого можно добиться симметричной перестановкой строк и столбцов без потери общности), и если ${displaystyle lambda _{i}}$s отсортированы соответственно, тогда ${displaystyle lambda _{1}geq d_{1}geq lambda _{2}geq d_{2}geq cdots geq lambda _{n-1}geq d_{n-1}geq lambda _{n}}$.
• Если ${displaystyle d_{i}=d_{j}}$, для некоторых ${displaystyle ieq j}$, из указанного неравенства следует, что ${displaystyle d_{i}}$ является собственным значением А. Размер проблемы можно уменьшить, уничтожив ${displaystyle zeta _{j}}$ с Вращение Гивенса в ${displaystyle (i,j)}$-самолет и действуя как указано выше.

Симметричные матрицы-стрелки возникают при описании безызлучательных переходы в изолированных молекулах и осцилляторах, колебательно связанных с Ферми жидкость.^[4]

Собственные значения и собственные векторы

Матрица симметричной стрелки несводимый если ${displaystyle zeta _{i}eq 0}$ для всех я и ${displaystyle d_{i}eq d_{j}}$ для всех ${displaystyle ieq j}$. В собственные значения неприводимой вещественной симметричной матрицы стрелки - нули светское уравнение

${displaystyle f(lambda )=alpha -lambda -sum _{i=1}^{n-1}{frac {zeta _{i}^{2}}{d_{i}-lambda }}equiv alpha -lambda -z^{T}(D-lambda I)^{-1}z=0}$

который может быть, например, вычислен метод деления пополам. Соответствующие собственные векторы равны

${displaystyle v_{i}={frac {x_{i}}{|x_{i}|_{2}}},quad x_{i}={egin{bmatrix}left(D-lambda _{i}Iight)^{-1}z-1end{bmatrix}},quad i=1,ldots ,n.}$

Прямое применение приведенной выше формулы может дать собственные векторы, которые численно недостаточно ортогональны.^[1] Алгоритм прямой стабильности, который вычисляет каждое собственное значение и каждый компонент соответствующего собственного вектора с почти полной точностью, описан в.^[2] В Юля доступна версия ПО.^[5]

Инверсии

Позволять А - неприводимая вещественная симметричная матрица со стрелками. Если ${displaystyle d_{i}=0}$ для некоторых я, обратное - это переставляемая неприводимая вещественная симметричная матрица со стрелкой:

${displaystyle A^{-1}={egin{bmatrix}D_{1}^{-1}&w_{1}&0&0w_{1}^{T}&b&w_{2}^{T}&1/zeta _{i}�&w_{2}&D_{2}^{-1}&0�&1/zeta _{i}&0&0end{bmatrix}}}$

где

${displaystyle {egin{alignedat}{2}D_{1}&=mathop {mathrm {diag} } (d_{1},d_{2},ldots ,d_{i-1}),D_{2}&=mathop {mathrm {diag} } (d_{i+1},d_{i+2},ldots ,d_{n-1}),z_{1}&={egin{bmatrix}zeta _{1}&zeta _{2}&cdots &zeta _{i-1}end{bmatrix}}^{T},z_{2}&={egin{bmatrix}zeta _{i+1}&zeta _{i+2}&cdots &zeta _{n-1}end{bmatrix}}^{T},w_{1}&=-D_{1}^{-1}z_{1}{frac {1}{zeta _{i}}},w_{2}&=-D_{2}^{-1}z_{2}{frac {1}{zeta _{i}}},&={frac {1}{zeta _{i}^{2}}}left(-a+z_{1}^{T}D_{1}^{-1}z_{1}+z_{2}^{T}D_{2}^{-1}z_{2}ight).end{alignedat}}}$

Если ${displaystyle d_{i}eq 0}$ для всех я, обратное - это модификация диагональной матрицы первого ранга (диагональ плюс ранг матрица или DPR1):

${displaystyle A^{-1}={egin{bmatrix}D^{-1}&&0end{bmatrix}}+ho uu^{T},}$

где

${displaystyle u={egin{bmatrix}D^{-1}z-1end{bmatrix}},quad ho ={frac {1}{alpha -z^{T}D^{-1}z}}.}$

использованная литература

1. О'Лири, Д. П.; Стюарт, Г. В. (1990). «Вычисление собственных значений и собственных векторов симметричных матриц стрелок». Журнал вычислительной физики. 90 (2): 497–505. Bibcode:1990JCoPh..90..497O. Дои:10.1016/0021-9991(90)90177-3.
2. Яковчевич Стор, Невена; Слапницарь, Иван; Барлоу, Джесси Л. (2015). «Точное разложение по собственным значениям реальных симметричных матриц стрелок и приложений». Линейная алгебра и ее приложения. 464: 62–89. arXiv:1302.7203. Дои:10.1016 / j.laa.2013.10.007.
3. Гу, Мин; Эйзенстат, Стэнли К. (1995). «Алгоритм разделяй и властвуй для симметричной трехдиагональной собственной задачи». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям. 16: 172–191. Дои:10.1137 / S0895479892241287.
4. О'Лири, Д.П .; Стюарт, Г. (Октябрь 1990 г.). «Вычисление собственных значений и собственных векторов симметричных матриц стрелок» (PDF). Журнал вычислительной физики. 90 (2): 497–505. Bibcode:1990JCoPh..90..497O. Дои:10.1016/0021-9991(90)90177-3.
5. "Arrowhead.jl"