Теорема Аткинсона – Мингарелли - Atkinson–Mingarelli theorem

В Прикладная математика, то Теорема Аткинсона – Мингарелли, названный в честь Фредерик Валентайн Аткинсон и А. Б. Мингарелли, касается собственных значений некоторых Штурм – Лиувилль дифференциальные операторы.

В простейшей формулировке пусть п, q, ш иметь реальную ценность кусочно-непрерывный функции, определенные на замкнутом ограниченном действительном интервале, я = [а, б]. Функция ш(Икс), который иногда обозначают как р(Икс), называется функцией «веса» или «плотности». Рассмотрим Штурм – Лиувилль дифференциальное уравнение

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y,}$

(1)

куда у является функцией независимой переменной Икс. В этом случае, у называется решение если он непрерывно дифференцируем на (а,б) и (п y ')(Икс) кусочно непрерывно дифференцируема и у удовлетворяет уравнению (1) вообще, за исключением конечного числа точек в (а,б). Неизвестная функция у обычно требуется для удовлетворения некоторых граничные условия в а и б.

Рассматриваемые здесь граничные условия обычно называются разделенные граничные условия и они имеют вид:

${\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0\qquad \qquad \qquad (\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0),}$

(2)

${\displaystyle \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0\qquad \qquad \qquad (\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0),}$

(3)

где ${\displaystyle \{\alpha _{i},\beta _{i}\}}$, я = 1, 2 - действительные числа. Мы определяем

Теорема

Предположить, что п(Икс) имеет конечное число смен знака и что положительная (соответственно отрицательная) часть функции п(Икс)/ш(Икс) определяется ${\displaystyle (w/p)_{+}(x)=\max\{w(x)/p(x),0\}}$, (соотв. ${\displaystyle (w/p)_{-}(x)=\max\{-w(x)/p(x),0\})}$ не являются тождественно нулевыми функциями над I. Тогда задача на собственные значения (1), (2)–(3) имеет бесконечное количество действительных положительных собственных значений ${\displaystyle {\lambda _{i}}^{+}}$,

${\displaystyle 0<{\lambda _{1}}^{+}<{\lambda _{2}}^{+}<{\lambda _{3}}^{+}<\cdots <{\lambda _{n}}^{+}<\cdots \to \infty ;}$

и бесконечное количество отрицательных собственных значений ${\displaystyle {\lambda _{i}}^{-}}$,

${\displaystyle 0>{\lambda _{1}}^{-}>{\lambda _{2}}^{-}>{\lambda _{3}}^{-}>\cdots >{\lambda _{n}}^{-}>\cdots \to -\infty ;}$

спектральная асимптотика которых дается их решением [2] гипотезы Йоргенса [3]:

${\displaystyle {\lambda _{n}}^{+}\sim {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{\left(\int _{a}^{b}{\sqrt {(w/p)_{+}(x)}}\,dx\right)^{2}}},\quad n\to \infty ,}$

и

${\displaystyle {\lambda _{n}}^{-}\sim {\frac {-n^{2}\pi ^{2}}{\left(\int _{a}^{b}{\sqrt {(w/p)_{-}(x)}}\,dx\right)^{2}}},\quad n\to \infty .}$

Для получения дополнительной информации об общей теории, лежащей в основе (1) см. статью о Теория Штурма – Лиувилля. Заявленная теорема действительно верна в более общем смысле для коэффициентных функций ${\displaystyle 1/p,\,q,\,w}$ которые Интегрируемый по Лебегу над I.

Рекомендации

1. Ф. В. Аткинсон, А. Б. Мингарелли, Многопараметрические задачи на собственные значения - теория Штурма – Лиувилля, CRC Press, Тейлор и Фрэнсис, 2010 г. ISBN  978-1-4398-1622-6
2. Ф. В. Аткинсон, А. Б. Мингарелли, Асимптотика числа нулей и собственных значений общих весовых задач Штурма – Лиувилля, Дж. für die Reine und Ang. Математика. (Crelle), 375/376 (1987), 380–393. Смотрите также бесплатная загрузка оригинальной статьи.
3. К. Йоргенс, Спектральная теория обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка, Лекции, прочитанные в Орхусском университете, 1962/63.