Расширенная матрица - Augmented matrix

В линейная алгебра, расширенная матрица это матрица получается путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения того же элементарные операции со строками на каждой из данных матриц.

Учитывая матрицы А и B,куда

${displaystyle A={egin{bmatrix}1&3&22&0&15&2&2end{bmatrix}},quad B={egin{bmatrix}431end{bmatrix}},}$

расширенная матрица (А|B) записывается как

${displaystyle (A|B)=left[{egin{array}{ccc|c}1&3&2&42&0&1&35&2&2&1end{array}}ight].}$

Это полезно при решении системы линейных уравнений.

При заданном количестве неизвестных количество решений системы линейных уравнений зависит только от классифицировать матрицы, представляющей систему, и ранг соответствующей расширенной матрицы. В частности, согласно Руш R 鈥 揅 теорема апелли, любая система линейных уравнений непоследовательный (не имеет решений), если классифицировать расширенной матрицы больше, чем ранг матрицы матрица коэффициентов; если, с другой стороны, ранги этих двух матриц равны, система должна иметь хотя бы одно решение. Решение уникально тогда и только тогда, когда ранг равен количеству переменных. В противном случае общее решение будет иметь k свободные параметры где k - разница между количеством переменных и рангом; следовательно, в таком случае решений бесконечно много.

Расширенная матрица также может использоваться для нахождения обратной матрицы путем объединения ее с единичная матрица.

Чтобы найти обратную матрицу

Позволять C - квадратная матрица 2 脳 2

${displaystyle C={egin{bmatrix}1&3-5&0end{bmatrix}}.}$

Чтобы найти обратное C, мы создаем (C|я) где I - 2 脳 2 единичная матрица. Затем уменьшаем часть (C|я) соответствующий C в единичную матрицу, используя только элементарные операции со строками на (C|я).

${displaystyle (C|I)=left[{egin{array}{cc|cc}1&3&1&0-5&0&0&1end{array}}ight]}$

${displaystyle (I|C^{-1})=left[{egin{array}{cc|cc}1&0&0&-{frac {1}{5}}�&1&{frac {1}{3}}&{frac {1}{15}}end{array}}ight]}$,

правая часть которой является обратной по отношению к исходной матрице.

Наличие и количество решений

Рассмотрим систему уравнений

${displaystyle {egin{aligned}x+y+2z&=2x+y+z&=32x+2y+2z&=6.end{aligned}}}$

Матрица коэффициентов:

${displaystyle A={egin{bmatrix}1&1&21&1&12&2&2end{bmatrix}},}$

а расширенная матрица

${displaystyle (A|B)=left[{egin{array}{ccc|c}1&1&2&21&1&1&32&2&2&6end{array}}ight].}$

Поскольку оба они имеют одинаковый ранг, а именно 2, существует по крайней мере одно решение; и поскольку их ранг меньше, чем количество неизвестных, последнее равно 3, существует бесконечное количество решений.

Напротив, рассмотрим систему

${displaystyle {egin{aligned}x+y+2z&=3x+y+z&=12x+2y+2z&=5.end{aligned}}}$

Матрица коэффициентов:

${displaystyle A={egin{bmatrix}1&1&21&1&12&2&2end{bmatrix}},}$

а расширенная матрица

${displaystyle (A|B)=left[{egin{array}{ccc|c}1&1&2&31&1&1&12&2&2&5end{array}}ight].}$

В этом примере матрица коэффициентов имеет ранг 2, а расширенная матрица - ранг 3; так что эта система уравнений не имеет решения. Действительно, увеличение числа линейно независимых строк привело к тому, что система уравнений непоследовательный.

Решение линейной системы

В линейной алгебре расширенная матрица используется для представления коэффициенты и вектор решения каждой системы уравнений. Для системы уравнений

${displaystyle {egin{aligned}x+2y+3z&=03x+4y+7z&=26x+5y+9z&=11end{aligned}}}$

коэффициенты и постоянные члены дают матрицы

${displaystyle A={egin{bmatrix}1&2&33&4&76&5&9end{bmatrix}},quad B={egin{bmatrix}0211end{bmatrix}},}$

и, следовательно, дадим расширенную матрицу

${displaystyle (A|B)=left[{egin{array}{ccc|c}1&2&3&03&4&7&26&5&9&11end{array}}ight]}$.

Обратите внимание, что ранг матрицы коэффициентов, равный 3, равен рангу расширенной матрицы, поэтому существует по крайней мере одно решение; и поскольку этот ранг равен количеству неизвестных, существует ровно одно решение.

Чтобы получить решение, операции со строками могут быть выполнены на расширенной матрице, чтобы получить единичную матрицу с левой стороны, в результате чего

${displaystyle left[{egin{array}{ccc|c}1&0&0&4�&1&0&1�&0&1&-2end{array}}ight],}$

так что решение системы (Икс, у, z) = (4, 1, -2).

Рекомендации

• Марвин Маркус и Хенрик Минк, Обзор теории матриц и матричных неравенств, Dover Publications, 1992, ISBN  0-486-67102-X. Стр.31.