Оси и ромбичность - Axiality and rhombicity

В физика и математика, ось и ромбичность две характеристики симметричный второсортный тензор в трехмерном Евклидово пространство, описывающий его направленную асимметрию.

Позволять А обозначим тензор второго ранга в р³, который может быть представлен как 3х3 матрица. Мы предполагаем, что А симметрично. Отсюда следует, что А имеет три настоящих собственные значения, который обозначим через ${ displaystyle A_ {xx}}$ , ${ displaystyle A_ {yy}}$ и ${ displaystyle A_ {zz}}$ . Мы предполагаем, что они упорядочены так, что

{ displaystyle A_ {xx} leq A_ {yy} leq A_ {zz}.}

Оси А определяется

{ displaystyle Delta A = 2A_ {zz} - (A_ {xx} + A_ {yy}). ,}

Ромбичность - это разница между наименьшим и вторым наименьшим собственным значением:

{ displaystyle delta A = A_ {yy} -A_ {xx}. ,}

Другие определения аксиальности и ромбичности отличаются от приведенных выше постоянными факторами, которые зависят от контекста. Например, при использовании их в качестве параметров в разложении неприводимого сферического тензора удобнее всего разделить приведенное выше определение аксиальности на ${ displaystyle { sqrt {6}}}$ и ромбичности ${ displaystyle {2}}$ .

Приложения

Описание физических взаимодействий с точки зрения ось и ромбичность часто встречается в вращение динамика и, в частности, в вращение теория релаксации, в которой множество бесследовых билинейных гамильтонианов взаимодействия, имеющих (собственный каркас) вид

{ displaystyle { hat {H}} = { hat { vec { mathbf {a}}}} cdot mathbf {A} cdot { hat { vec { mathbf {b}}}} = A_ {xx} { hat {a}} _ {x} { hat {b}} _ {x} + A_ {yy} { hat {a}} _ {y} { hat {b}} _ {y} + A_ {zz} { hat {a}} _ {z} { hat {b}} _ {z}}

(шляпы обозначают операторы проекции спина) можно удобно повернуть, используя неприводимые сферические тензорные операторы ранга 2:

{ displaystyle { hat { vec { mathbf {a}}}} cdot mathbf {A} cdot { hat { vec { mathbf {b}}}} = { frac { delta A } {2}} { hat {T}} _ {2, -2} + { frac { delta A} {2}} { hat {T}} _ {2,2} + { frac { Delta A} { sqrt {6}}} { hat {T}} _ {2, -2}}

{ displaystyle { hat { hat {R}}} _ { alpha, beta, gamma} ({ hat {T}} _ {l, m}) = sum _ {k = -2} ^ {2} { hat {T}} _ {l, k} { mathfrak {D}} _ {k, m} ^ {(l)} ( alpha, beta, gamma)}

куда ${ displaystyle { mathfrak {D}} _ {k, m} ^ {(l)} ( alpha, beta, gamma)}$ - функции Вигнера, ${ Displaystyle ( альфа, бета, гамма)}$ - углы Эйлера, а выражения для неприводимых сферических тензорных операторов ранга 2 имеют вид:

{ displaystyle { hat {T}} _ {2,2} = + { frac {1} {2}} { hat {a}} _ {+} { hat {b}} _ {+} }

{ displaystyle { hat {T}} _ {2,1} = - { frac {1} {2}} ({ hat {a}} _ {z} { hat {b}} _ {+ } + { hat {a}} _ {+} { hat {b}} _ {z})}

{ displaystyle { hat {T}} _ {2,0} = + { sqrt { frac {2} {3}}} ({ hat {a}} _ {z} { hat {b} } _ {z} - { frac {1} {4}} ({ hat {a}} _ {+} { hat {b}} _ {-} + { hat {a}} _ {- } { hat {b}} _ {+}))}

{ displaystyle { hat {T}} _ {2, -1} = + { frac {1} {2}} ({ hat {a}} _ {z} { hat {b}} _ { -} + { hat {a}} _ {-} { hat {b}} _ {z})}

{ displaystyle { hat {T}} _ {2, -2} = + { frac {1} {2}} { hat {a}} _ {-} { hat {b}} _ {- }}

Такое определение гамильтоновых поворотов (ось, ромбичность, три угла) значительно упрощает вычисления, поскольку свойства функций Вигнера хорошо изучены.

Оси и ромбичность - Axiality and rhombicity

Приложения

Рекомендации