Уравнение Бэтчелора – Чандрасекара - Batchelor–Chandrasekhar equation - Wikipedia

В Уравнение Бэтчелора – Чандрасекара - уравнение эволюции скалярных функций, определяющее двухточечный тензор корреляции скоростей однородной осесимметричной турбулентности, названной в честь Джордж Бэтчелор и Субраманян Чандрасекар.^[1][2][3][4] Они разработали теорию однородной осесимметричной турбулентности на основе Говард П. Робертсон Работа по изотропной турбулентности с использованием принципа инварианта.^[5] Это уравнение является продолжением Уравнение Кармана – Ховарта от изотропной к осесимметричной турбулентности.

Математическое описание

Теория основана на том принципе, что статистические свойства инвариантны для вращений вокруг определенного направления. ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ (скажем), и отражения в плоскостях, содержащих ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ и перпендикулярно ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$. Этот тип осесимметрии иногда называют сильная осесимметрия или же осесимметрия в сильном смысле, в отличие от слабая осесимметрия, где отражения в плоскостях, перпендикулярных ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ или самолеты, содержащие ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ не допускаются.^[6]

Пусть двухточечная корреляция для однородной турбулентности имеет вид

${\displaystyle R_{ij}(\mathbf {r} ,t)={\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}.}$

Один скаляр описывает этот тензор корреляции в изотропной турбулентности, тогда как для осесимметричной турбулентности оказывается, что двух скалярных функций достаточно, чтобы однозначно задать тензор корреляции. Фактически, Бэтчелор не смог выразить тензор корреляции через две скалярные функции, но в итоге получил четыре скалярные функции, тем не менее, Чандрасекхар показали, что его можно выразить только двумя скалярными функциями, выразив соленоидальный осесимметричный тензор как завиток общего осесимметричного тензора перекоса (рефлексивно неинвариантного тензора).

Позволять ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ - единичный вектор, определяющий ось симметрии потока, то у нас есть две скалярные переменные, ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =r^{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\lambda }}=r\mu }$. С ${\displaystyle |{\boldsymbol {\lambda }}|=1}$, ясно, что ${\displaystyle \mu }$ представляет собой косинус угла между ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ и ${\displaystyle \mathbf {r} }$. Позволять ${\displaystyle Q_{1}(r,\mu ,t)}$ и ${\displaystyle Q_{2}(r,\mu ,t)}$ - две скалярные функции, описывающие корреляционную функцию, тогда наиболее общий осесимметричный тензор, который является соленоидальным (несжимаемым), имеет вид

${\displaystyle R_{ij}=Ar_{i}r_{j}+B\delta _{ij}+C\lambda _{i}\lambda _{j}+D\left(\lambda _{i}r_{j}+r_{i}\lambda _{j}\right)}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left(D_{r}-D_{\mu \mu }\right)Q_{1}+D_{r}Q_{2},\\B&=\left[-\left(r^{2}D_{r}+r\mu D_{\mu }+2\right)+r^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)D_{\mu \mu }-r\mu D_{\mu }\right]Q_{1}-\left[r^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)D_{r}+1\right]Q_{2},\\C&=-r^{2}D_{\mu \mu }Q_{1}+\left(r^{2}D_{r}+1\right)Q_{2},\\D&=\left(r\mu D_{\mu }+1\right)D_{\mu }Q_{1}-r\mu D_{r}Q_{2}.\end{aligned}}}$

Дифференциальные операторы, фигурирующие в приведенных выше выражениях, определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{r}&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }},\\D_{\mu }&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \mu }},\\D_{\mu \mu }&=D_{\mu }D_{\mu }={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Тогда уравнения эволюции (эквивалентная форма Уравнение Кармана – Ховарта ) для двух скалярных функций имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial Q_{1}}{\partial t}}&=2\nu \Delta Q_{1}+S_{1},\\{\frac {\partial Q_{2}}{\partial t}}&=2\nu \left(\Delta Q_{2}+2D_{\mu \mu }Q_{1}\right)+S_{2}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \nu }$ это кинематическая вязкость и

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {4}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1-\mu ^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \mu ^{2}}}-{\frac {4\mu }{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}.}$

Скалярные функции ${\displaystyle S_{1}(r,\mu ,t)}$ и ${\displaystyle S_{2}(r,\mu ,t)}$ связаны с трехкоррелированным тензором ${\displaystyle S_{ij}}$точно так же ${\displaystyle Q_{1}(r,\mu ,t)}$ и ${\displaystyle Q_{2}(r,\mu ,t)}$ связаны с двухточечным коррелированным тензором ${\displaystyle R_{ij}}$. Трехкоррелированный тензор

${\displaystyle S_{ij}={\frac {\partial }{\partial r_{k}}}\left({\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{k}(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}-{\overline {u_{i}(\mathbf {x} ,t)u_{k}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}\right)+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\overline {\partial p(\mathbf {x} ,t)u_{j}(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)}}{\partial r_{i}}}-{\frac {\overline {\partial p(\mathbf {x} +\mathbf {r} ,t)u_{i}(\mathbf {x} ,t)}}{\partial r_{j}}}\right).}$

Здесь ${\displaystyle \rho }$ это плотность жидкости.

Характеристики

• След корреляционного тензора сводится к

${\displaystyle R_{ii}=r^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)\left(D_{\mu \mu }Q_{1}-D_{r}Q_{2}\right)-2Q_{2}-2\left(r^{2}D_{r}+2r\mu D_{\mu }+3\right)Q_{1}.}$

• Условие однородности ${\displaystyle R_{ij}(-\mathbf {r} )=R_{ji}(\mathbf {r} )}$ означает, что оба ${\displaystyle Q_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$ являются даже функциями ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle r\mu }$.

Затухание турбулентности

Если во время распада мы пренебрегаем скалярами тройной корреляции, то уравнения сводятся к осесимметричным пятимерным уравнениям теплопроводности:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial Q_{1}}{\partial t}}&=2\nu \Delta Q_{1},\\{\frac {\partial Q_{2}}{\partial t}}&=2\nu \left(\Delta Q_{2}+2D_{\mu \mu }Q_{1}\right)\end{aligned}}}$

Решения этого пятимерного уравнения теплопроводности были решены Чандрасекар. Начальные условия могут быть выражены через Полиномы Гегенбауэра (не теряя общий смысл),

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(r,\mu ,0)&=\sum _{n=0}^{\infty }q_{2n}^{(1)}(r)C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu ),\\Q_{2}(r,\mu ,0)&=\sum _{n=0}^{\infty }q_{2n}^{(2)}(r)C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu ),\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu )}$ находятся Полиномы Гегенбауэра. Требуемые решения:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(r,\mu ,t)&={\frac {e^{-{\frac {r^{2}}{8\nu t}}}}{32(\nu t)^{\frac {5}{2}}}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu )\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r'^{2}}{8\nu t}}}r'^{4}q_{2n}^{(1)}(r'){\frac {I_{2n+{\frac {3}{2}}}\left({\frac {rr'}{4\nu t}}\right)}{\left({\frac {rr'}{4\nu t}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\ dr',\\[8pt]Q_{2}(r,\mu ,t)&={\frac {e^{-{\frac {r^{2}}{8\nu t}}}}{32(\nu t)^{\frac {5}{2}}}}\sum _{n=0}^{\infty }C_{2n}^{\frac {3}{2}}(\mu )\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r'^{2}}{8\nu t}}}r'^{4}q_{2n}^{(2)}(r'){\frac {I_{2n+{\frac {3}{2}}}\left({\frac {rr'}{4\nu t}}\right)}{\left({\frac {rr'}{4\nu t}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\ dr'+4\nu \int _{0}^{t}{\frac {dt'}{[8\pi \nu (t-t')]^{\frac {5}{2}}}}\int \cdots \int \left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}Q_{1}}{\partial \mu ^{2}}}\right)_{r',\mu ',t'}e^{-{\frac {|r-r'|^{2}}{8\nu (t-t')}}}\ dx_{1}'\cdots dx_{5}',\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle I_{2n+{\frac {3}{2}}}}$ это Функция Бесселя первого рода.

В качестве ${\displaystyle t\to \infty ,}$ решения становятся независимыми от ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{1}(r,\mu ,t)&\to -{\frac {\Lambda _{1}e^{-{\frac {r^{2}}{8\nu t}}}}{48{\sqrt {2\pi }}(\nu t)^{\frac {5}{2}}}},\\Q_{2}(r,\mu ,t)&\to -{\frac {\Lambda _{2}e^{-{\frac {r^{2}}{8\nu t}}}}{48{\sqrt {2\pi }}(\nu t)^{\frac {5}{2}}}},\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{1}&=-\int _{0}^{\infty }q_{2n}^{(1)}(r)\ dr\\\Lambda _{2}&=-\int _{0}^{\infty }q_{2n}^{(2)}(r)\ dr\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Уравнение Кармана – Ховарта
• Уравнение Кармана – Ховарта – Монина

Рекомендации

1. Бэтчелор, Г. К. (1946). Теория осесимметричной турбулентности. Proc. R. Soc. Лондон. А, 186 (1007), 480–502.
2. Чандрасекхар, С. (1950). Теория осесимметричной турбулентности. Лондонское королевское общество.
3. Чандрасекхар, С. (1950). Распад осесимметричной турбулентности. Proc. Рой. Soc. А, 203, 358–364.
4. Дэвидсон, П. (2015). Турбулентность: введение для ученых и инженеров. Oxford University Press, США. Приложение 5
5. Робертсон, Х. П. (1940, апрель). Инвариантная теория изотропной турбулентности. In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Vol. 36, No. 2, pp. 209–223). Издательство Кембриджского университета.
6. Линдборг, Э. (1995). Кинематика однородных осесимметричных канальцев. Журнал гидромеханики, 302, 179-201.