Байесовская эконометрика - Bayesian econometrics

Байесовская эконометрика это филиал эконометрика что применяется Байесовский принципы экономического моделирования. Байесианство основано на степени веры интерпретация вероятности, в отличие от интерпретации относительной частоты.

Байесовский принцип основан на Теорема Байеса в котором говорится, что вероятность зависимости B от A - это отношение совместной вероятности A и B, деленное на вероятность B. Байесовские эконометристы предполагают, что коэффициенты в модели имеют предыдущие распределения.

Этот подход был впервые распространен Арнольд Зеллнер.^[1]

Основы

Основная статья: Байесовский вывод

Субъективные вероятности должны удовлетворять стандартные аксиомы теории вероятностей если кто-то желает избежать проигрыша ставки независимо от результата.^[2] Перед наблюдением данных параметр ${displaystyle heta }$ рассматривается как неизвестная величина и, следовательно, случайная величина, которой приписывается предварительное распространение ${displaystyle pi ( heta )}$ с ${displaystyle 0leq heta leq 1}$. Байесовский анализ концентрируется на выводе апостериорное распределение ${displaystyle pi ( heta |y)}$, т.е. распределение случайной величины ${displaystyle heta }$ при условии соблюдения дискретных данных ${displaystyle y}$. Апостериорная функция плотности ${displaystyle pi ( heta |y)}$ можно вычислить на основе Теорема Байеса:

${displaystyle pi ( heta |y)={frac {p(y| heta )pi ( heta )}{p(y)}}}$

куда ${displaystyle p(y)=int p(y| heta )pi ( heta )d heta }$, что дает нормированную функцию вероятности. Для непрерывных данных ${displaystyle y}$, это соответствует:

${displaystyle pi ( heta |y)={frac {f(y| heta )pi ( heta )}{f(y)}}}$

куда ${displaystyle f(y)=int f(y| heta )pi ( heta )d heta }$ и который является центральным элементом байесовской статистики и эконометрики. Он состоит из следующих компонентов:

• ${displaystyle pi ( heta |y)}$: апостериорная функция плотности ${displaystyle heta |y}$;
• ${displaystyle f(y| heta )}$: the функция правдоподобия, т.е. функция плотности для наблюдаемых данных ${displaystyle y}$ когда значение параметра ${displaystyle heta }$;
• ${displaystyle pi ( heta )}$: the предварительное распространение из ${displaystyle heta }$;
• ${displaystyle f(y)}$: функция плотности вероятности ${displaystyle y}$.

Апостериорная функция определяется выражением ${displaystyle pi ( heta |y)propto f(y| heta )pi ( heta )}$, т.е. апостериорная функция пропорциональна произведению функции правдоподобия и априорного распределения, и ее можно понимать как метод обновления информации с разницей между ${displaystyle pi ( heta )}$ и ${displaystyle pi ( heta |y)}$ получение информации о ${displaystyle heta }$ после наблюдения новых данных. Выбор априорного распределения используется для наложения ограничений на ${displaystyle heta }$, например ${displaystyle 0leq heta leq 1}$, с бета-распространение как общий выбор из-за (i) определения между 0 и 1, (ii) способности создавать различные формы и (iii) получения апостериорного распределения стандартной формы в сочетании с функцией правдоподобия ${displaystyle heta ^{Sigma y_{i}}(1- heta )^{n-Sigma y_{i}}}$. Основываясь на свойствах бета-распределения, постоянно увеличивающийся размер выборки подразумевает, что среднее значение апостериорного распределения приближается к оценке максимального правдоподобия. ${displaystyle {ar {y}}.}$Предполагаемая форма функции правдоподобия является частью априорной информации и должна быть обоснована. Различные предположения о распределении можно сравнивать, используя апостериорные отношения шансов, если априорные основания не обеспечивают четкого выбора. Обычно предполагаемые формы включают бета-распределение, гамма-распределение, а равномерное распределение, среди прочего. Если модель содержит несколько параметров, параметр можно переопределить как вектор. Применение теории вероятностей к этому вектору параметров дает маргинальные и условные распределения отдельных параметров или групп параметров. Если генерация данных является последовательной, байесовские принципы подразумевают, что апостериорное распределение для параметра, основанное на новых доказательствах, будет пропорционально произведению вероятности для новых данных, учитывая предыдущие данные и параметр, и апостериорного распределения для параметра, учитывая старые данные, которые обеспечивают интуитивно понятный способ, позволяющий новой информации влиять на представления о параметре через Байесовское обновление. Если размер выборки велик, (i) априорное распределение играет относительно небольшую роль в определении апостериорного распределения, (ii) апостериорное распределение сходится к вырожденному распределению при истинном значении параметра и (iii) апостериорное распределение приблизительно нормально распределен со средним ${displaystyle {hat { heta }}}$.

История

Идеи, лежащие в основе Байесовская статистика были разработаны преп. Томас Байес в течение 18 века, а затем расширился на Пьер-Симон Лаплас. Еще в 1950 г. потенциал байесовского вывода в эконометрике был признан Джейкоб Маршак.^[3] Байесовский подход был впервые применен к эконометрика в начале 1960-х У. Д. Фишером, Жак Дрез, Клиффорд Хилдрет, Томас Дж. Ротенберг, Джордж Тяо, и Арнольд Зеллнер. Центральным мотивом этих ранних попыток в байесовской эконометрике было сочетание оценок параметров с доступной неопределенной информацией о параметрах модели, которая не была включена в данную формулировку модели.^[4] С середины 1960-х до середины 1970-х переформулировка эконометрических методов в соответствии с байесовскими принципами в рамках традиционного структурного подхода доминировала в повестке дня исследований. Введение в байесовский вывод в эконометрике в 1971 году в качестве одного из его основных моментов, и поэтому внимательно следил за работой частотной эконометрики. При этом основные технические проблемы заключались в сложности определения априорных плотностей без потери экономической интерпретации или математической управляемости, а также в сложности интегрального расчета в контексте функций плотности. Результатом программы байесовской переформулировки было выявление хрупкости структурных моделей для неопределенной спецификации. Эта хрупкость стала мотивировать работу Эдвард Лимер, который категорически критиковал тенденцию разработчиков модели заниматься «построением модели пост-данных» и, следовательно, разработал метод экономического моделирования, основанный на выборе регрессионных моделей в соответствии с типами предшествующей спецификации плотности, чтобы идентифицировать предшествующие структуры, лежащие в основе моделирования. рабочие правила при выборе модели явно.^[5] Байесовская эконометрика также стала привлекательной для Кристофер Симс 'попытка перейти от структурного моделирования к VAR моделирование из-за его явной вероятностной спецификации ограничений параметров. В связи с быстрым ростом вычислительных мощностей с середины 1980-х годов применение Цепь Маркова Монте-Карло Имитационное моделирование статистических и эконометрических моделей, впервые проведенное в начале 1990-х годов, позволило байесовскому анализу резко усилить свое влияние в экономике и эконометрике.^[6]

Текущие темы исследований

С начала 21 века исследования в области байесовской эконометрики были сосредоточены на:^[7]

• методы отбора проб, подходящие для распараллеливание и GPU расчеты;
• сложные экономические модели, учитывающие нелинейные эффекты и полные прогнозные плотности;
• анализ предполагаемых характеристик модели и анализ решений;
• включение неполноты модели в эконометрический анализ.

Рекомендации

1. Гринберг, Эдвард (2012). Введение в байесовскую эконометрику (Второе изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-01531-9.
2. Глава 3 в Де Финетти, Б. (1990). Теория вероятности. Чичестер: Джон Уайли и сыновья.
3. Маршак признал это в своей лекции, которая была оформлена в Маршаке (1954); ср. Маршак Дж. (1954). Вероятность в социальных науках. В Marschak, J. (1974). Экономическая информация, решение и прогноз. Избранные эссе: Том I, часть I - Экономика принятия решений. Амстердам: Springer, Нидерланды.
4. Цинь, Д. (1996). «Байесовская эконометрика: первые двадцать лет». Эконометрическая теория. 12 (3): 500–516. Дои:10.1017 / S0266466600006836.
5. Лимер, Эдвард Э. (1974). «Ложные модели и построение модели пост-данных». Журнал Американской статистической ассоциации. 69 (345): 122–131. Дои:10.1080/01621459.1974.10480138.
6. Куп, Гэри; Коробилис, Димитрис (2010). "Байесовские методы многомерных временных рядов для эмпирической макроэкономики". Основы и тенденции в эконометрике. 3 (4): 267–358. CiteSeerX  10.1.1.164.7962. Дои:10.1561/0800000013.
7. Бастурк, Н. (2013). Исторические события в байесовской эконометрике после монографий 10, 14 Фонда Коулза. Документ для обсуждения Института Тинбергена 191 / III.

• Куп, Гэри; Пуарье, Дейл Дж .; Тобиас, Джастин Л. (2007). Байесовские эконометрические методы. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-85571-6.
• Ланкастер, Тони (2004). Введение в современную байесовскую эконометрику. Блэквелл. ISBN  1-4051-1720-6.
• Зеллнер, А. (1996). Введение в байесовский вывод в эконометрике (Перепечатка изд. 1971 г.). Вайли. ISBN  0-471-16937-4.
• Гринберг, Эдвард (2012). Введение в байесовскую эконометрику (Второе изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-01531-9.