Уравнение белавкина - Belavkin equation - Wikipedia

В квантовая вероятность, то Уравнение белавкина, также известный как Уравнение Белавкина-Шредингера, уравнение квантовой фильтрации, стохастическое главное уравнение, - квантовое стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее динамику квантовая система под наблюдением в непрерывное время. Он был выведен и в дальнейшем изучен Вячеслав Белавкин в 1988 г.^[1][2][3]

Обзор

в отличие от Уравнение Шредингера, который описывает детерминированную эволюцию волновая функция ${\displaystyle \psi (t)}$ замкнутой системы (без взаимодействия) уравнение Белавкина описывает стохастическую эволюцию случайной волновой функции ${\displaystyle \psi (t,\omega )}$ из открытая квантовая система взаимодействие с наблюдателем:

${\displaystyle d\psi =-\left({\frac {1}{2}}L^{\ast }L+{\frac {i}{\hbar }}H\right)\psi dt+L\psi dy}$

Здесь, ${\displaystyle L}$ - самосопряженный оператор (или вектор-столбец операторов) системы, связанный с внешним полем, ${\displaystyle H}$ гамильтониан, ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ мнимая единица, ${\displaystyle \hbar }$ - постоянная Планка, а ${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{t}dy(r)}$ - стохастический процесс, представляющий шум измерения, который является мартингалом с независимые приращения относительно входной вероятностной меры ${\displaystyle P(0,d\omega )=\|\psi (0,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )}$. Обратите внимание, что этот шум имеет зависимые приращения относительно меры вероятности выхода ${\displaystyle P(t,d\omega )=\|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )}$ представляющий результат инновационного процесса (наблюдение). За ${\displaystyle L=0}$, уравнение становится стандартным Уравнение Шредингера.

Стохастический процесс ${\displaystyle y(t)}$ может быть смесью двух основных типов: Пуассон (или же Прыгать) тип ${\displaystyle y(t)\simeq n(t)-t}$, куда ${\displaystyle n(t)}$ это Пуассоновский процесс соответствующий подсчету наблюдения, а Броуновский (или же распространение) тип ${\displaystyle y(t)\simeq w(t)}$, куда ${\displaystyle w(t)}$ это стандарт Винеровский процесс соответствующий непрерывному наблюдению. Уравнения диффузионного типа могут быть получены как центральный предел уравнений типа скачка с ожидаемой скоростью скачков, возрастающей до бесконечности.

Случайная волновая функция ${\displaystyle \psi (t,\omega )}$ нормализуется только в среднеквадратическом смысле ${\displaystyle \int \|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )=\|\psi _{0}\|=1}$, но в целом ${\displaystyle \psi (t,\omega )}$ не может быть нормализован для каждого ${\displaystyle \omega }$. Нормализация ${\displaystyle \psi (t,\omega )}$ для каждого ${\displaystyle \omega }$ дает случайный вектор апостериорного состояния ${\displaystyle \varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|}$, эволюция которого описывается апостериорным уравнением Белавкина, которое является нелинейным, поскольку операторы ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle H}$ зависит от ${\displaystyle \varphi }$ за счет нормализации. Стохастический процесс ${\displaystyle y(t)}$ в апостериорном уравнении имеет независимые приращения относительно меры вероятности выхода ${\displaystyle P(t,d\omega )=\|\psi (t,\omega )\|^{2}\mu (d\omega )}$, но не по отношению к входной мере. Белавкин также вывел линейное уравнение для ненормированного оператора плотности ${\displaystyle \varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )}$ и соответствующее нелинейное уравнение для нормированного случайного оператора апостериорной плотности ${\displaystyle \rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )}$. Для двух типов шума измерения это дает восемь основных квантовых стохастических дифференциальных уравнений. Общие формы уравнений включают все типы шума и их представления в Пространство фока.^[4][5]

Нелинейное уравнение, описывающее наблюдение положения свободной частицы, которое является частным случаем апостериорного уравнения Белавкина диффузионного типа, также было получено Диози^[6] и появился в творчестве Гисина,^[7] Гирарди, Перл и Римини,^[8] хотя и с другой мотивацией или интерпретацией. Подобные нелинейные уравнения для апостериорных операторов плотности постулировались (хотя и без вывода) в квантовой оптике и теории квантовых траекторий,^[9] где они называются стохастические главные уравнения. Усреднение уравнений для операторов случайной плотности ${\displaystyle \rho (t,\omega )}$ по всем случайным траекториям ${\displaystyle \omega }$ приводит к Уравнение Линдблада,^[10] который является детерминированным.

Нелинейные уравнения Белавкина для апостериорных состояний играют ту же роль, что и уравнения Стратоновича–Уравнение Кушнера в классической вероятности, а линейные уравнения соответствуют Уравнение Закая.^[11] Уравнения Белавкина описывают непрерывное время декогеренция изначально чистого состояния ${\displaystyle \rho (0)=\psi _{0}\psi _{0}^{\ast }}$ в смешанное заднее состояние ${\displaystyle \rho (t)=\int \varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )P(t,d\omega )}$ дающее строгое описание динамики коллапса волновой функции в результате наблюдения или измерения.^[12][13][14]

Измерение без разрушения и квантовая фильтрация

Некоммутативность представляет собой серьезную проблему для вероятностной интерпретации квантовых стохастических дифференциальных уравнений из-за отсутствия условных ожиданий для общих пар квантовых наблюдаемых. Белавкин решил эту проблему, обнаружив связь неопределенности ошибки и возмущения и сформулировав принцип неразрушимости квантового измерения.^[13][15] В частности, если случайный процесс ${\displaystyle dy(t)}$ соответствует ошибке ${\displaystyle e(t)dt=dw}$ (белый шум в диффузном случае) зашумленного наблюдения ${\displaystyle Y(t)=X(t)+e(t)}$ оператора ${\displaystyle X(t)=\lambda [L(t)+L^{\ast }(t)]}$ с коэффициентом точности ${\displaystyle \lambda >0}$, то косвенное наблюдение возмущает динамику системы стохастической силой ${\displaystyle f(t)}$, называется Сила Ланжевена, который представляет собой еще один белый шум интенсивности ${\displaystyle (\hbar \lambda )^{2}}$ это не коммутируется с ошибкой ${\displaystyle e(t)}$. Результатом такого возмущения является то, что выходной процесс ${\displaystyle Y(t)}$ коммутативен ${\displaystyle [Y(s),Y(t)]=0}$, и поэтому ${\displaystyle \int _{0}^{t}Y(r)dr}$ соответствует классическому наблюдению, а системные операторы ${\displaystyle X}$ удовлетворяют условию неразрушения: все будущие наблюдаемые должны коммутировать с прошлыми наблюдениями (но не с будущими наблюдениями): ${\displaystyle [X(s),Y(t)]=0}$ для всех ${\displaystyle s\geq t}$ (но нет ${\displaystyle s<t}$). Обратите внимание, что коммутация ${\displaystyle X(s)}$ с ${\displaystyle Y(t)}$ и еще один оператор ${\displaystyle Z(s)}$ с ${\displaystyle Y(t)}$ не подразумевает куммутации ${\displaystyle X(s)}$ с ${\displaystyle Z(s)}$, так что алгебра будущих наблюдаемых остается некоммутативной. Условие неразборки необходимо и достаточно для существования условных ожиданий. ${\displaystyle \mathbb {E} \{X(s)\mid Y(t)\}}$, что делает возможной квантовую фильтрацию.^[16]

Уравнения апостериорного состояния

Подсчет наблюдения

Позволять ${\displaystyle n(t)}$ быть Пуассоновский процесс с шагом вперед ${\displaystyle dn(t)=0}$ почти везде и ${\displaystyle dn(t)=1}$ в противном случае и имея собственность ${\displaystyle (dn)^{2}=dn}$. Ожидаемое количество событий ${\displaystyle \mathbb {E} \{n(t)\}=\nu t}$, куда ${\displaystyle \nu }$ - ожидаемая скорость прыжков. Затем подставив ${\displaystyle m(t)={\frac {n(t)-\nu t}{\sqrt {\nu }}}}$ для случайного процесса ${\displaystyle y(t)}$ дает линейное уравнение Белавкина для ненормированной случайной волновой функции ${\displaystyle \psi (t,\omega )}$ проходит счетное наблюдение. Подстановка ${\displaystyle L={\sqrt {\nu }}(C-I)}$, куда ${\displaystyle C}$ - оператор коллапса, а ${\displaystyle H=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(C-C^{\ast })}$, куда ${\displaystyle E}$ - оператор энергии, это уравнение можно записать в следующем виде

${\displaystyle d\psi =-\left({\frac {\nu }{2}}(C^{\ast }C-I)+{\frac {i}{\hbar }}E\right)\psi dt+(C-I)\psi dn}$

Нормализованная волновая функция ${\displaystyle \varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|}$ называется вектор апостериорного состояния, эволюция которого описывается следующим нелинейным уравнением

${\displaystyle d\varphi =-\left({\frac {\nu }{2}}(C^{\ast }C-\|C\varphi \|^{2})+{\frac {i}{\hbar }}E\right)\varphi dt+\left({\frac {C}{\|C\varphi \|}}-I\right)\varphi d{\tilde {n}}}$

куда ${\displaystyle {\tilde {n}}(t)}$ имеет ожидание ${\displaystyle \mathbb {E} \{{\tilde {n}}(t)\}=\nu \|C\varphi \|^{2}t}$. Апостериорное уравнение можно записать в стандартной форме

${\displaystyle d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}{\tilde {L}}^{\ast }{\tilde {L}}+{\frac {i}{\hbar }}{\tilde {H}}\right)\varphi dt+{\tilde {L}}\varphi d{\tilde {m}}}$

с ${\displaystyle {\tilde {L}}={\sqrt {\nu }}(C-\|C\varphi \|)}$, ${\displaystyle {\tilde {H}}=E+i\hbar {\frac {\nu }{2}}(C-C^{\ast })\|C\varphi \|}$, и ${\displaystyle {\tilde {m}}(t)={\frac {{\tilde {n}}(t)-\nu \|C\varphi \|^{2}t}{{\sqrt {\nu }}\|C\varphi \|}}}$. Соответствующие уравнения для ненормализованного оператора случайной плотности ${\displaystyle \varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )}$ а для нормированного оператора случайной апостериорной плотности ${\displaystyle \rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )}$ являются следующими

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varrho &=-[G\varrho +\varrho G^{\ast }-\nu \varrho ]dt+[C\varrho C^{\ast }-\varrho ]dn\\d\rho &=-[G\rho +\rho G^{\ast }-\nu \rho \mathrm {Tr} \left\{C\rho C^{\ast }\right\}]dt+\left({\frac {C\rho C^{\ast }}{\mathrm {Tr} \left\{C\rho C^{\ast }\right\}}}-\rho \right)d{\tilde {n}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle G={\frac {\nu }{2}}C^{\ast }C+{\frac {i}{\hbar }}E}$. Обратите внимание, что последнее уравнение нелинейно.

Непрерывное наблюдение

Стохастический процесс ${\displaystyle m(t)}$, определенный в предыдущем разделе, имеет прямое приращение ${\displaystyle (dm)^{2}=\nu ^{-1/2}dm+dt}$, которые имеют тенденцию ${\displaystyle dt}$ в качестве ${\displaystyle \nu \to \infty }$. Следовательно, ${\displaystyle m(t)}$ становится стандартом Винеровский процесс относительно входной вероятностной меры. Подстановка ${\displaystyle w(t)}$ за ${\displaystyle y(t)}$ дает линейное уравнение Белавкина для ненормированной случайной волновой функции ${\displaystyle \psi (t,\omega )}$ под постоянным наблюдением. Выходной процесс ${\displaystyle {\tilde {m}}(t)}$ становится диффузионным инновационным процессом ${\displaystyle {\tilde {w}}(t)}$ с приращениями ${\displaystyle d{\tilde {w}}(t,\omega )=dw(t,\omega )-2\mathrm {Re} \langle \varphi (t,\omega )\mid L\varphi (t,\omega )\rangle dt}$. Нелинейное уравнение Белавкина диффузионного типа для апостериорного вектора состояния ${\displaystyle \varphi (t,\omega )=\psi (t,\omega )/\|\psi (t,\omega )\|}$ является

${\displaystyle d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}{\tilde {L}}^{\ast }{\tilde {L}}+{\frac {i}{\hbar }}{\tilde {H}}\right)\varphi dt+{\tilde {L}}\varphi d{\tilde {w}}}$

с ${\displaystyle {\tilde {L}}=L-\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle }$ и ${\displaystyle {\tilde {H}}=H+i\hbar {\frac {1}{2}}(L-L^{\ast })\mathrm {Re} \langle \varphi \mid L\varphi \rangle }$. Соответствующие уравнения для ненормализованного оператора случайной плотности ${\displaystyle \varrho (t,\omega )=\psi (t,\omega )\psi ^{\ast }(t,\omega )}$ а для нормированного оператора случайной апостериорной плотности ${\displaystyle \rho (t,\omega )=\varphi (t,\omega )\varphi ^{\ast }(t,\omega )}$ являются следующими

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varrho &=-[K\varrho +\varrho K^{\ast }-L\varrho L^{\ast }]dt+[L\varrho +\varrho L^{\ast }]dw\\d\rho &=-[K\rho +\rho K^{\ast }-L\rho L^{\ast }]dt+[L\rho +\rho L^{\ast }-\rho \mathrm {Tr} \left\{(L+L^{\ast })\rho \right\}]d{\tilde {w}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle K={\frac {1}{2}}L^{\ast }L+{\frac {i}{\hbar }}H}$. Второе уравнение нелинейно из-за нормировки. Потому что ${\displaystyle \mathbb {E} \{dw(t)\}=0}$, взяв среднее значение этих стохастических уравнений по всем ${\displaystyle \omega }$ приводит к Уравнение Линдблада

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=-[K\rho +\rho K^{\ast }]+L\rho L^{\ast }}$

Пример: непрерывное наблюдение за положением свободной частицы

Рассмотрим свободную частицу массы ${\displaystyle m}$. В позиция и импульс наблюдаемые соответствуют соответственно операторам ${\displaystyle {\hat {x}}}$ умножения на ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}=(\hbar /i)d/dx}$. Сделав следующие замены в уравнении Белавкина

${\displaystyle L={\hat {x}},\qquad H={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}}$

апостериорное стохастическое уравнение становится

${\displaystyle d\varphi =-\left({\frac {1}{2}}({\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle )^{2}+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}\right)\varphi dt+{\Bigl (}{\hat {x}}-\langle {\hat {x}}\rangle {\Bigr )}\varphi [dy-2\langle {\hat {x}}\rangle dt]}$

куда ${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle (t)=\mathrm {Tr} \left\{{\hat {x}}\rho (t)\right\}}$ это апостериорное ожидание ${\displaystyle {\hat {x}}}$. По мотивам спонтанного теория коллапса вместо теории фильтрации это уравнение было также получено Диози,^[17] показывая, что шум измерения ${\displaystyle dy-2\langle {\hat {x}}\rangle dt}$ это приращение ${\displaystyle d\xi }$ стандарта Винеровский процесс. У этого уравнения есть решения в замкнутой форме:^[18] а также уравнения для частицы в линейном или квадратичном потенциалах.^[1][3][19] Для гауссова начального состояния ${\displaystyle \psi _{0}}$ эти решения соответствуют оптимальному квантовому линейному фильтру.^[15] Решения уравнения Белавкина показывают, что в пределе ${\displaystyle t\to \infty }$ волновая функция имеет конечную дисперсию,^[20] поэтому решение квантовый эффект Зенона.^[11]

Рекомендации

1. Белавкин, В. (1988). «Неразрушающие измерения, нелинейная фильтрация и динамическое программирование квантовых случайных процессов». В А. Блакьер (ред.). Материалы мастерской Bellmann Continuum "Моделирование и управление системами". Конспект лекций в области управления и информатики. 121. София-Антиполис: Спрингер-Верлаг. С. 245–265.
2. Белавкин, В. (1989). «Наблюдение с непрерывным счетом и апостериорная квантовая динамика». J Phys A. 22 (23): L1109 – L1114. Bibcode:1989JPhA ... 22L1109B. Дои:10.1088/0305-4470/22/23/006.
3. Белавкин, В. (1989). «Новое волновое уравнение для непрерывного неразрушающего измерения». Письма о физике A. 140 (7–8): 355–358. arXiv:Quant-ph / 0512136. Bibcode:1989ФЛА..140..355Б. Дои:10.1016/0375-9601(89)90066-2.
4. Белавкин, В. (1995). «О стохастических генераторах вполне положительных коциклов». Расс Журн математики и физики. 3 (4): 523–528.
5. Белавкин, В. (1997). «Квантовая стохастическая положительная эволюция: характеристика, построение, расширение». Commun. Математика. Phys. 184 (3): 533–566. arXiv:math-ph / 0512042. Bibcode:1997CMaPh.184..533B. Дои:10.1007 / s002200050072.
6. Ди'ози, Л. (1989). «Модели универсального уменьшения макроскопических квантовых флуктуаций». Физический обзор A. 40 (3): 1165–1174. Bibcode:1989ПхРвА..40.1165Д. Дои:10.1103 / PhysRevA.40.1165.
7. Гисин, Н. (1989). «Стохастическая квантовая динамика и теория относительности». Helvetica Physica Acta. 62: 363–371.
8. Ghirardi, G.C .; Pearle, P .; Римини, А. (1990). «Марковские процессы в гильбертовом пространстве и непрерывная спонтанная локализация систем одинаковых частиц». Phys. Ред. А. 42 (1): 78–89. Bibcode:1990ПхРва..42 ... 78Г. Дои:10.1103 / PhysRevA.42.78.
9. Кармайкл, HJ (1993). Подход открытых систем к квантовой оптике. Springer-Verlag.
10. Смолянов, О .; Трумэн, А. (1999). «Уравнения Шредингера-Белавкина и связанные с ними уравнения Колмогорова и Линдблада». Теоретическая и математическая физика. 120 (2): 973–984. Bibcode:1999ТМП ... 120..973С. Дои:10.1007 / BF02557405.
11. Холево, А. (1991), Прохоров Ю.В. (ред.), Квантовая вероятность и квантовая статистика, Итоги науки и техники, 83, ВИНИТИ, с. 5–132.
12. Белавкин, В. (1990), Трумэн, А .; Дэвис, И.М. (ред.), Квантовая апостериорная стохастика и спонтанный коллапс, World Scientific, стр. 40–68.
13. Белавкин, В. (1992). «Квантовые континуальные измерения и апостериорный коллапс на CCR». Comm. Математика. Phys. 146 (3): 611–635. arXiv:math-ph / 0512070. Bibcode:1992CMaPh.146..611B. Дои:10.1007 / BF02097018.
14. Белавкин, В.П .; Мелшеймер, О. (1995), Гамильтоново решение квантового коллапса, диффузии состояний и спонтанной локализации, Издательство Пленум, с. 201–222, Дои:10.1007/978-1-4899-1391-3_20
15. Белавкин, В. (1980). «Оптимальная фильтрация марковских сигналов с помощью квантового белого шума». Радио Eng Электронная физика. 25: 1445–1453. arXiv:Quant-ph / 0512091. Дои:10.1007/978-1-4899-1391-3_37.
16. Bouten, L .; van Handel, R .; Джеймс, М.Р. (2009). «Дискретное приглашение к квантовой фильтрации и управлению с обратной связью». SIAM Обзор. 51 (2): 239–316. arXiv:математика / 0606118. Bibcode:2009SIAMR..51..239B. Дои:10.1137/060671504.
17. Диози, Л. (1988). «Непрерывное квантовое измерение и формализм Ито». Phys Lett A. 129 (8–9): 419–423. arXiv:1812.11591. Bibcode:1988ФЛА..129..419Д. Дои:10.1016 / 0375-9601 (88) 90309-X.
18. Диози, Л. (1988). «Локализованное решение простого нелинейного квантового уравнения Ланжевена». Phys Lett A. 132 (5): 233–236. Bibcode:1988ФЛА..132..233Д. Дои:10.1016/0375-9601(88)90555-5.
19. Белавкин, В.П .; Сташевский, П. (1992). «Наблюдение без разрушения свободной квантовой частицы». Phys Rev A. 45 (3): 1347–1357. arXiv:Quant-ph / 0512138. Bibcode:1992ПхРвА..45.1347Б. Дои:10.1103 / PhysRevA.45.1347. PMID  9907114.
20. Колокольцов1, В. (1995). «Теория рассеяния для уравнения Белавкина, описывающего квантовую частицу с непрерывно наблюдаемой координатой». Журнал математической физики. 36 (6): 2741–2760. Bibcode:1995JMP .... 36,2741K. Дои:10.1063/1.531063.