Неравенство Беннетта - Bennetts inequality - Wikipedia

В теория вероятности, Беннета неравенство обеспечивает верхняя граница на вероятность что сумма независимые случайные величины отклоняется от своего ожидаемое значение более чем на любую указанную сумму. Неравенство Беннета было доказано Джорджем Беннетом из Университет Нового Южного Уэльса в 1962 г.^[1]

Заявление

Позволять Икс₁, … Икс_пбыть независимые случайные величины с конечной дисперсией и предположим (для простоты, но не теряя общий смысл ) все они имеют нулевое ожидаемое значение. Далее предположим Икс_я ≤ а почти наверняка для всех я, и определим ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ и ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}^{2}).}$ Тогда для любого т ≥ 0,

${\displaystyle \Pr \left(S_{n}>t\right)\leq \exp \left(-n{\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}h\left({\frac {at}{n\sigma ^{2}}}\right)\right),}$

куда час(ты) = (1 + ты) журнал (1 + ты) – ты.^[2][3]

Обобщения и сравнения с другими оценками

Обобщения см. В Freedman (1975).^[4] и Фан, Грама и Лю (2012)^[5] для мартингейл вариант неравенства Беннета и его улучшение соответственно.

Неравенство Хёффдинга только предполагает, что слагаемые ограничены почти наверняка, в то время как неравенство Беннета предлагает некоторое улучшение, когда дисперсии слагаемых малы по сравнению с их почти надежными границами. Однако неравенство Хёффдинга влечет за собой субгауссовы хвосты, тогда как в целом неравенство Беннета имеет пуассоновы хвосты.^{[нужна цитата ]}В обоих неравенствах, в отличие от некоторых других неравенств или предельных теорем, нет требования, чтобы составляющие переменные имели идентичные или похожие распределения.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Неравенство концентраций - сводка хвостовых границ случайных величин.

Рекомендации

1. Беннет, Г. (1962). «Вероятностные неравенства для суммы независимых случайных величин». Журнал Американской статистической ассоциации. 57 (297): 33–45. Дои:10.2307/2282438. JSTOR  2282438.
2. Деврой, Люк; Лугоши, Габор (2001). Комбинаторные методы оценки плотности. Springer. п. 11. ISBN  978-0-387-95117-1.
3. Бушерон, Стефан; Лугоши, Габор; Массарт, Паскаль (2013). Неравенства концентрации, неасимптотическая теория независимости. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-953525-5.
4. Фридман, Д.А. (1975). «О хвостовых вероятностях мартингалов». 3. Анналы вероятности: 100–118. JSTOR  2959268.
5. Fan, X .; Грама, I .; Лю, К. (2012). «Неравенство Хёффдинга для супермартингалов». Случайные процессы и их приложения. 122: 3545–3559. arXiv:1109.4359. Дои:10.1016 / j.spa.2012.06.009.