Теорема сравнения Бергера – Каздана - Berger–Kazdan comparison theorem

В математика, то Теорема сравнения Бергера – Каздана это результат Риманова геометрия что дает нижнюю границу объема Риманово многообразие а также дает необходимое и достаточное условие чтобы многообразие было изометрический к м-размерный сфера со своей обычной «круглой» метрикой. Теорема названа в честь математики Марсель Бергер и Джерри Каздан.

Формулировка теоремы

Позволять (M, грамм) быть компактный м-мерное риманово многообразие с радиус приемистости ING (M). Позволять объем обозначим форму объема на M и разреши c_м(р) обозначают объем стандартного м-мерная сфера радиуса р. потом

${displaystyle mathrm {vol} (M)geq {frac {c_{m}(mathrm {inj} (M))}{pi ^{m}}},}$

с равенством если и только если (M, грамм) изометрично м-сфера S^м с его обычной круглой метрикой.

Рекомендации

• Бергер, Марсель; Каздан, Джерри Л. (1980). «Неравенство Штурма – Лиувилля с приложениями к изопериметрическому неравенству для объема в терминах радиуса инъективности и многообразиям Видерсегена». Труды Второй Международной конференции по всеобщему неравенству, 1978 г.. Бирхаузер. С. 367–377.
• Кодани, Сигеру (1988). «Оценка объема метрических шаров». Математический журнал Кодай. 11 (2): 300–305. Дои:10,2996 / kmj / 1138038881.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема сравнения Бергера-Каздана". MathWorld.