Функция Бесселя – Клиффорда - Bessel–Clifford function

В математический анализ, то Функция Бесселя – Клиффорда, названный в честь Фридрих Бессель и Уильям Кингдон Клиффорд, является вся функция из двух комплексные переменные которые можно использовать для альтернативного развития теории Функции Бесселя. Если

${displaystyle pi (x)={frac {1}{Pi (x)}}={frac {1}{Gamma (x+1)}}}$

- вся функция, определенная с помощью обратная гамма-функция, то функция Бесселя – Клиффорда определяется рядом

${displaystyle {mathcal {C}}_{n}(z)=sum _{k=0}^{infty }pi (k+n){frac {z^{k}}{k!}}}$

Соотношение следующих друг за другом членов z/k(п + k), что для всех значений z и п стремится к нулю с увеличениемk. Посредством тест соотношения, этот ряд сходится абсолютно для всех z ип, и равномерно для всех областей с ограниченным |z|, и, следовательно, функция Бесселя – Клиффорда является целой функцией двух комплексных переменных п иz.

Дифференциальное уравнение функции Бесселя – Клиффорда.

Из приведенного выше ряда о дифференцировании по Икс это ${displaystyle {mathcal {C}}_{n}(x)}$ удовлетворяет линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

${displaystyle xy''+(n+1)y'=y.qquad }$

Это уравнение обобщенного гипергеометрического типа, и фактически функция Бесселя – Клиффорда имеет коэффициент масштабирования a Гипергеометрическая функция Поххаммера – Барнса.; у нас есть

${displaystyle {mathcal {C}}_{n}(z)=pi (n) _{0}F_{1}(;n+1;z).}$

Если n не является отрицательным целым числом, и в этом случае правая часть не определена, эти два определения по существу эквивалентны; гипергеометрическая функция нормализуется так, чтобы ее значение при z = 0 - единица.

Связь с функциями Бесселя

В Функция Бесселя первого рода можно определить в терминах функции Бесселя – Клиффорда как

${displaystyle J_{n}(z)=left({frac {z}{2}}ight)^{n}{mathcal {C}}_{n}left(-{frac {z^{2}}{4}}ight);}$

когда п не является целым числом, отсюда видно, что функция Бесселя не является целой. Аналогично модифицированная функция Бесселя первого рода может быть определена как

${displaystyle I_{n}(z)=left({frac {z}{2}}ight)^{n}{mathcal {C}}_{n}left({frac {z^{2}}{4}}ight).}$

Конечно, процедура может быть обратной, так что мы можем определить функцию Бесселя – Клиффорда как

${displaystyle {mathcal {C}}_{n}(z)=z^{-n/2}I_{n}(2{sqrt {z}});}$

но с этой отправной точки нам нужно будет показать ${displaystyle {mathcal {C}}}$ был целым.

Отношение рецидива

Из определяющего ряда сразу следует, что ${displaystyle {frac {d}{dx}}{mathcal {C}}_{n}(x)={mathcal {C}}_{n+1}(x).}$

Используя это, мы можем переписать дифференциальное уравнение для ${displaystyle {mathcal {C}}}$ так как

${displaystyle x{mathcal {C}}_{n+2}(x)+(n+1){mathcal {C}}_{n+1}(x)={mathcal {C}}_{n}(x),}$

которое определяет рекуррентное соотношение для функции Бесселя – Клиффорда. Это эквивалентно аналогичному соотношению для ₀F₁. Как частный случай Непрерывная дробь Гаусса

${displaystyle {frac {{mathcal {C}}_{n+1}(x)}{{mathcal {C}}_{n}(x)}}={cfrac {1}{n+1+{cfrac {x}{n+2+{cfrac {x}{n+3+{cfrac {x}{ddots }}}}}}}}.}$

Можно показать, что эта цепная дробь сходится во всех случаях.

Функция Бесселя – Клиффорда второго рода.

Дифференциальное уравнение Бесселя – Клиффорда.

${displaystyle xy''+(n+1)y'=yqquad }$

имеет два линейно независимых решения. Поскольку начало координат является регулярной особой точкой дифференциального уравнения, и поскольку ${displaystyle {mathcal {C}}}$ целое, второе решение должно быть особенным в нуле.

Если мы установим

${displaystyle {mathcal {K}}_{n}(x)={frac {1}{2}}int _{0}^{infty }exp left(-t-{frac {x}{t}}ight){frac {dt}{t^{n+1}}}}$

который сходится для ${displaystyle Re (x)>0}$, и аналитически продолжаем его, получаем второе линейно независимое решение дифференциального уравнения.

Коэффициент 1/2 вставлен, чтобы сделать ${displaystyle {mathcal {K}}}$ соответствуют функциям Бесселя второго рода. У нас есть

${displaystyle K_{n}(x)=left({frac {x}{2}}ight)^{n}{mathcal {K}}_{n}left({frac {x^{2}}{4}}ight).}$

и

${displaystyle Y_{n}(x)=left({frac {x}{2}}ight)^{n}{mathcal {K}}_{n}left(-{frac {x^{2}}{4}}ight).}$

С точки зрения K, у нас есть

${displaystyle {mathcal {K}}_{n}(x)=x^{-n/2}K_{n}(2{sqrt {x}}).}$

Следовательно, как функция Бесселя, так и модифицированная функция Бесселя первого рода могут быть выражены через ${displaystyle {mathcal {C}}}$, оба вида второго рода могут быть выражены через ${displaystyle {mathcal {K}}}$.

Производящая функция

Если умножить абсолютно сходящийся ряд для exp (т) и exp (z/т) вместе мы получаем (когда т не равен нулю) абсолютно сходящийся ряд для exp (т + z/т). Сбор терминов в т, находим при сравнении с определением степенного ряда для ${displaystyle {mathcal {C}}_{n}}$ что у нас есть

${displaystyle exp left(t+{frac {z}{t}}ight)=sum _{n=-infty }^{infty }t^{n}{mathcal {C}}_{n}(z).}$

Затем эту производящую функцию можно использовать для получения дальнейших формул, в частности, мы можем использовать Интегральная формула Коши и получить ${displaystyle {mathcal {C}}_{n}}$ для целого числа п так как

${displaystyle {mathcal {C}}_{n}(z)={frac {1}{2pi i}}oint _{C}{frac {exp(t+z/t)}{t^{n+1}}},dt={frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }exp(zexp(-i heta )+exp(i heta )-ni heta ),d heta .}$

использованная литература

• Клиффорд, Уильям Кингдон (1882 г.), «О функциях Бесселя», Математические статьи, Лондон: 346–349.
• Гринхилл, А. Джордж (1919), "Функция Бесселя – Клиффорда и ее приложения", Философский журнал, Шестая серия: 501–528.
• Лежандр, Адриан-Мари (1802), Éléments de Géometrie, Примечание IV, Париж.
• Schläfli, Людвиг (1868), "Sulla relazioni tra diversi integrationi Definiti Che giovano ad esprimere la soluzione generale della equazzione di Riccati", Annali di Matematica Pura ed Applicata, 2 (I): 232–242.
• Уотсон, Г.Н. (1944), Трактат по теории функций Бесселя. (Второе изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Валлиссер, Рольф (2000), «О доказательстве Ламбертом иррациональности числа π», в Halter-Koch, Franz; Тихи, Роберт Ф. (ред.), Алгебраическая теория чисел и диофантов анализ, Берлин: Вальтер де Грюйер, ISBN  3-11-016304-7.