Уравнение Бирюкова - Biryukov equation

Синусоидальные колебания F = 0.01

В Уравнение Бирюкова (или же Осциллятор Бирюкова), названная в честь Вадима Бирюкова (1946), является нелинейным дифференциальное уравнение используется для модели с демпфированием генераторы.^[1]

Уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(y){\frac {dy}{dt}}+y=0,\qquad \qquad (1)}$

куда ƒ(у) - кусочно-постоянная функция, положительная, за исключением малых у так как

${\displaystyle f(y)={\begin{cases}-F,&|y|\leq Y_{0};\\F,&|y|>Y_{0}.\end{cases}}}$

${\displaystyle F={\text{constant}}>0,\quad Y_{0}={\text{constant}}>0.}$

Уравнение (1) является частным случаем Уравнение Лиенара; он описывает автоколебания.

Решение (1) через отдельные промежутки времени, когда f (y) постоянна, имеет вид^[2]

${\displaystyle y_{k}(t)=A_{1,k}\exp(s_{1,k}t)+A_{2,k}\exp(s_{2,k}t)\qquad \qquad (2)}$

Здесь ${\displaystyle s_{k}=F/2\mp {\sqrt {(F/2)^{2}-1}}}$ , в ${\displaystyle |y|<Y_{0}}$ и ${\displaystyle s_{k}=-F/2\mp {\sqrt {(F/2)^{2}-1}}}$ иначе. Выражение (2) можно использовать для действительных и комплексных значений ${\displaystyle s_{k}}$.

Решение первого полупериода при ${\displaystyle y(0)=\pm Y_{0}}$ является

Релаксационные колебания F = 4

${\displaystyle y(t)={\begin{cases}y_{1}(t),&0\leq t<T_{0};\\y_{2}(t),&T_{0}\leq t<T/2.\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{1}(t)=A_{1,k}\cdot \exp(s_{1,k}t)+A_{2,k}\cdot \exp(s_{2,k}t),}$

${\displaystyle y_{2}(t)=A_{3,k}\cdot \exp(s_{3,k}t)+A_{4,k}\cdot \exp(s_{4,k}t).}$

Решение второго полупериода:

${\displaystyle y(t)={\begin{cases}-y_{1}(t-T/2),&T/2\leq t<T/2+T_{0};\\-y_{2}(t-T/2),&T/2+T_{0}\leq t<T.\end{cases}}}$

Решение содержит четыре константы интегрирования ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{4}}$, Период ${\displaystyle T}$ и граница ${\displaystyle T_{0}}$ между ${\displaystyle y_{1}(t)}$ и ${\displaystyle y_{2}(t)}$ нужно найти. Граничное условие выводится из непрерывности ${\displaystyle y(t)}$) и ${\displaystyle dy/dt}$.^[3]

Таким образом, решение (1) в стационарном режиме получается путем решения системы алгебраических уравнений в виде

${\displaystyle y_{1}(0)=-Y_{0}}$; ${\displaystyle y_{1}(T_{0})=Y_{0}}$; ${\displaystyle y_{2}(T_{0})=Y_{0}}$; ${\displaystyle y_{2}(T/2)=Y_{0}}$;${\displaystyle \left.{\begin{matrix}dy_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{T_{0}}=\left.{\begin{matrix}dy_{2}/dt\end{matrix}}\right|_{T_{0}}}$;${\displaystyle \left.{\begin{matrix}dy_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{0}=-\left.{\begin{matrix}dy_{2}/dt\end{matrix}}\right|_{T/2}\;\;\;(3)}$.

Константы интегрирования получаются Алгоритм Левенберга-Марквардта. С участием ${\displaystyle f(y)=\mu (-1+y^{2})}$, ${\displaystyle \mu =const>0}$, Уравнение (1) названный Генератор Ван дер Поля. Ее решение нельзя выразить элементарными функциями в замкнутой форме.

Рекомендации

1. Х. П. Гэвин, Метод Левенберга-Марквардта для нелинейных задач аппроксимации кривой наименьших квадратов (включая реализацию MATLAB)
2. Эроусмит Д. К., Плейс С. М. Динамические системы. Дифференциальные уравнения, карты и хаотическое поведение. Чепмен и Холл (1992)
3. Пилипенко А. М., Бирюков В. Н. «Исследование современных методов численного анализа эффективности автоколебательных схем», Радиоэлектроника, № 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html