Висмут соединение - Bismut connection

В математике Висмутовое соединение ${displaystyle abla }$ уникальный связь на комплексе Эрмитово многообразие который удовлетворяет следующим условиям:

1. Он сохраняет метрику ${displaystyle abla g=0}$
2. Сохраняет сложную структуру ${displaystyle abla J=0}$
3. В кручение ${displaystyle T(X,Y)}$ стягивается с метрикой, т.е. ${displaystyle T(X,Y,Z)=g(T(X,Y),Z)}$, полностью кососимметричный.

Висмут использовал эту связь при доказательстве формулы локального индекса для оператора Dolbeault на не-Кэлеровы многообразия. Связь висмута находит применение в теории струн типа II и гетеротической теории струн.

Явная конструкция выглядит следующим образом. Позволять ${displaystyle langle -,-angle }$ обозначают спаривание двух векторов с использованием метрики, которая является эрмитовой по отношению к комплексной структуре, т.е. ${displaystyle langle X,JYangle =-langle JX,Yangle }$. Далее пусть ${displaystyle abla }$ быть связью Леви-Чивита. Сначала определите тензор ${displaystyle T}$ такой, что ${displaystyle T(Z,X,Y)=-{frac {1}{2}}langle Z,J(abla _{X}J)Yangle }$. Этот тензор антисимметричен в первой и последней записи, т.е. в новой связи ${displaystyle abla +T}$ по-прежнему сохраняет метрику. Конкретно, новое соединение задается ${displaystyle Gamma _{eta gamma }^{alpha }-{frac {1}{2}}J_{~delta }^{alpha }abla _{eta }J_{~gamma }^{delta }}$ с ${displaystyle Gamma _{eta gamma }^{alpha }}$ связь Леви-Чивита. Новое соединение также сохраняет сложную структуру. Однако тензор ${displaystyle T}$ еще не полностью антисимметричен; антисимметризация приведет к Тензор Нейенхейса. Обозначим антисимметризацию как ${displaystyle T(Z,X,Y)+{ extrm {cyc~in~}}X,Y,Z=T(Z,X,Y)+S(Z,X,Y)}$, с ${displaystyle S}$ дано явно как

${displaystyle S(Z,X,Y)=-{frac {1}{2}}langle X,J(abla _{Y}J)Zangle -{frac {1}{2}}langle Y,J(abla _{Z}J)Xangle .}$

${displaystyle S}$ по-прежнему сохраняет сложную структуру, т.е. ${displaystyle S(Z,X,JY)=-S(JZ,X,Y)}$.

${displaystyle {egin{aligned}S(Z,X,JY)+S(JZ,X,Y)&=-{frac {1}{2}}langle JX,{ig (}-(abla _{JY}J)Z-(Jabla _{Z}J)Y+(Jabla _{Y}J)Z+(abla _{JZ}J)Y{ig )}angle &=-{frac {1}{2}}langle JX,Re{ig (}(1-iJ)[(1+iJ)Y,(1+iJ)Z]{ig )}angle .end{aligned}}}$

Так что если ${displaystyle J}$ интегрируемо, то указанный член обращается в нуль и связь

${displaystyle Gamma _{eta gamma }^{alpha }+T_{~eta gamma }^{alpha }+S_{~eta gamma }^{alpha }.}$

дает связь Висмута.